Троичная логика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Троичная система счисления)
Строка 4: Строка 4:
  
 
Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует.
 
Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует.
 +
В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак "0".
  
−
==Троичная система счисления==
+
==Одноместные операции==
  
−
'''Троичная система счисления''' — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная (как правило, цифры {0,1,2}) и симметричная (знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и любые другие знаки).
+
Очевидно, что в троичной логике всего существует <math>3^3=27</math> одноместных операций.  
 +
<table border=1>
 +
<tr><td><math>a</math></td><td><math>-</math></td><td><math>0</math></td><td><math>+</math></td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_0</math></td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td><math>-</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_1</math></td><td>-</td><td>-</td><td>0</td><td><math>\searrow</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_2</math></td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td><math>S^+</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_3</math></td><td>-</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_4</math></td><td>-</td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_5</math></td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_6</math></td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td><math>S</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_7</math></td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td><math>NOT^-</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_8</math></td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_9</math></td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{10}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{11}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>+</td><td><math>NOT^+</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{12}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{13}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td><math>0</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{14}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a^+</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{15}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>-</td><td><math>INC</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{16}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td><math>a^o</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{17}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>+</td><td><math>\nearrow</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{18}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td><math>S^-</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{19}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>0</td><td><math>DEC</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{20}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{21}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td><math>NOT</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{22}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>0</td><td><math>a^-</math></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{23}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{24}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>-</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{25}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td></td></tr>
 +
<tr><td><math>f_{26}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td><math>+</math></td></tr>
 +
</table>
 +
 
 +
==Алгебраические свойства==
 +
Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, закон идемпотентности.
 +
Также действует закон двойного отрицания (отрицания Лукашевича) и тройного (циклического) отрицания:
 +
 
 +
<math>\overline{\overline{A}}=A</math>
 +
 
 +
<math>A'''=A</math>
 +
 
 +
Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги:
 +
Закон несовместности состояний (аналог закона противоречия в двоичной логике)
 +
*
 +
Закон исключённого четвёртого (вместо закона исключённого третьего)
 +
*
 +
Трёхчленный закон Блейка-Порецкого
 +
*

Версия 18:07, 19 октября 2014

Определение

Трёхзначная логика (или троичная логика) — исторически первая многозначная логика. Является простейшим расширением двузначной логики.

Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует. В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак "0".

Одноместные операции

Очевидно, что в троичной логике всего существует [math]3^3=27[/math] одноместных операций.

[math]a[/math][math]-[/math][math]0[/math][math]+[/math]
[math]f_0[/math]---[math]-[/math]
[math]f_1[/math]--0[math]\searrow[/math]
[math]f_2[/math]--+[math]S^+[/math]
[math]f_3[/math]-0-
[math]f_4[/math]-00
[math]f_5[/math]-0+[math]a[/math]
[math]f_6[/math]-+-[math]S[/math]
[math]f_7[/math]-+0[math]NOT^-[/math]
[math]f_8[/math]-++
[math]f_9[/math]0--
[math]f_{10}[/math]0-0
[math]f_{11}[/math]0-+[math]NOT^+[/math]
[math]f_{12}[/math]00-
[math]f_{13}[/math]000[math]0[/math]
[math]f_{14}[/math]00+[math]a^+[/math]
[math]f_{15}[/math]0+-[math]INC[/math]
[math]f_{16}[/math]0+0[math]a^o[/math]
[math]f_{17}[/math]0++[math]\nearrow[/math]
[math]f_{18}[/math]+--[math]S^-[/math]
[math]f_{19}[/math]+-0[math]DEC[/math]
[math]f_{20}[/math]+-+
[math]f_{21}[/math]+0-[math]NOT[/math]
[math]f_{22}[/math]+00[math]a^-[/math]
[math]f_{23}[/math]+0+
[math]f_{24}[/math]++-
[math]f_{25}[/math]++0
[math]f_{26}[/math]+++[math]+[/math]

Алгебраические свойства

Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, закон идемпотентности. Также действует закон двойного отрицания (отрицания Лукашевича) и тройного (циклического) отрицания:

[math]\overline{\overline{A}}=A[/math]

[math]A'''=A[/math]

Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги: Закон несовместности состояний (аналог закона противоречия в двоичной логике)

Закон исключённого четвёртого (вместо закона исключённого третьего)

Трёхчленный закон Блейка-Порецкого

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Троичная_логика&oldid=40452»