Троичный поиск — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Псевдокод)
(См. также)
Строка 55: Строка 55:
 
<tex>2 \log_{\frac32} \left(\frac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>
 
<tex>2 \log_{\frac32} \left(\frac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>
  
== Смотрите также ==
+
== См. также ==
  
Есть оптимизация этого алгоритма, если делить отрезок не на равные части, а в отношении золотого сечения, {{---}} [[Поиск с помощью золотого сечения]]
+
[[Поиск с помощью золотого сечения]] - оптимизация троичного поиска.
  
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Троичный поиск — Википедия]
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Троичный поиск — Википедия]
 +
 +
[http://en.wikipedia.org/wiki/Ternary_search Ternary search - Wikipedia]
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==

Версия 10:45, 20 мая 2014

Троичный поиск (ternary search, тернарный поиск) — метод поиска минимума или максимума функции на отрезке.

Алгоритм

Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).
Пример. [math]f(a) \lt f(b) \Rightarrow x_{min} \in [l, b][/math]

Пусть функция [math]f(x)[/math] на отрезке [math][l, r][/math] имеет минимум, и мы хотим найти точку [math]x_{min}[/math], в которой он достигается.

Посчитаем значения функции в точках [math] a = l + \frac{(r-l)}{3} [/math] и [math] b = l + \frac{2(r-l)}{3} [/math].

Так как в точке [math]x_{min}[/math] минимум, то на отрезке [math][l, x_{min}][/math] функция убывает, а на [math][x_{min}, r][/math] — возрастает, то есть

[math] \forall x', x'' \in [l, r]: \\ l \lt x' \lt x'' \lt x_{min} \Rightarrow f(l) \gt f(x') \gt f(x'') \gt f(x_{min}) \\ x_{min} \lt x' \lt x'' \lt r \Rightarrow f(x_{min}) \lt f(x') \lt f(x'') \lt f(r) [/math].

Значит если [math]f(a) \lt f(b)[/math], то [math]x_{min} \in [l, b][/math], аналогично из [math]f(a) \gt f(b)[/math] следует [math] x_{min} \in [a, r][/math].

Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть [math] r-l \lt \varepsilon [/math].

Псевдокод

Рекурсивный вариант:

ternarySearchMin(f, left, right, eps) 
    if (right - left < eps)
        return (left + right) / 2
    a = (left * 2 + right) / 3
    b = (left + right * 2) / 3
    if (f(a) < f(b))
        return ternarySearchMin(f, left, b, eps)
    else
        return ternarySearchMin(f, a, right, eps)

Итеративный вариант:

ternarySearchMin(f, left, right, eps) 
    while (right - left > eps) 
        a = (left * 2 + right) / 3
        b = (left + right * 2) / 3
        if (f(a) < f(b))
            right = b
        else
            left = a
    return (left + right) / 2

Время работы

Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока [math] r - l \gt \varepsilon[/math], то время работы алгоритма составит [math]2 \log_{\frac32} \left(\frac{r - l}{\varepsilon}\right)[/math]

См. также

Поиск с помощью золотого сечения - оптимизация троичного поиска.

Троичный поиск — Википедия

Ternary search - Wikipedia

Литература

Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching.