Уравнение Пелля — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |definition= Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, …»)
 
Строка 2: Строка 2:
 
|definition=
 
|definition=
 
Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, называется уравнением Пелля
 
Уравнение вида <tex>x^2-dy^2=1</tex>, где <tex>d\in\mathbb{N}</tex> не является квадратом, называется уравнением Пелля
 +
}}
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Любое решение уравнения Пелля - подходящая дробь для <tex>\sqrt{d}</tex>.
 +
|proof=
 +
Рассматриваем <tex>x,y>0</tex>, остальные корни получатся из симметрии. Так как <tex>\sqrt{d}\gesqlant 1</tex>, то <tex>x>y>0</tex>.
 +
<tex>x+\sqrt{d}y>2y</tex>
 
}}
 
}}

Версия 16:03, 28 июня 2010

Определение:
Уравнение вида [math]x^2-dy^2=1[/math], где [math]d\in\mathbb{N}[/math] не является квадратом, называется уравнением Пелля
Теорема:
Любое решение уравнения Пелля - подходящая дробь для [math]\sqrt{d}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math]x,y\gt 0[/math], остальные корни получатся из симметрии. Так как [math]\sqrt{d}\gesqlant 1[/math], то [math]x\gt y\gt 0[/math].

[math]x+\sqrt{d}y\gt 2y[/math]
[math]\triangleleft[/math]