Уравнение Пелля — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 25: Строка 25:
 
|statement=
 
|statement=
 
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.
 
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.
 +
|proof=
 +
Положим <tex>\epsilon=\sqrt{d}</tex>. Для любого натурального <tex>n>1</tex> в силу леммы существуют такие натуральные числа <tex>a_n</tex> и <tex>b_n</tex>, что <tex>b_n < n</tex> и <tex>~|a_n-b_n\sqrt{d}|<\frac{1}{n}</tex>. Далее : <tex>~|a_n^2-db_n^2|=~|a_n-b_n\sqrt{d}|\cdot~|a_n+b_n\sqrt{d}|\leqslant\frac{1}{n}~|a_n-b_n\sqrt{d}+2b_n\sqrt{d}|\leqslant 1+2\sqrt{d}</tex>. Поэтому <tex>a_n^2-db_n^2</tex> принимает конечное число значений. Но <tex>n</tex> принимает бесконечное число значений. Поэтому существует такое число <tex>c</tex>, что для него есть бесконечно много пар <tex>(a_n, b_n)</tex>, таких что <tex>a_n^2-db_n^2=c</tex>.
 +
 +
Рассмотрим остатки от деления на <tex>~|c|</tex> чисел <tex> a_n, b_n</tex>. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары <tex> (a_1, b_1),(a_2,b_2)</tex> такие, что <tex>a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-b_2^2</tex> и <tex> a_1\equiv a_2(mod~|c|)</tex>, <tex>b_1\equiv b_2(mod~|c|)</tex>.
 
}}
 
}}

Версия 17:30, 30 июня 2010

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Уравнение вида [math]x^2-dy^2=1[/math], где [math]d\in\mathbb{N}[/math] не является квадратом, называется уравнением Пелля
Теорема:
Любое решение уравнения Пелля - подходящая дробь для [math]\sqrt{d}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math]x,y\gt 0[/math], остальные корни получатся из симметрии. Так как [math]\sqrt{d}\geqslant 1[/math], то [math]x\gt y\gt 0[/math]. [math]x+\sqrt{d}y\gt 2y[/math]. Следовательно [math]1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+sqrt{d}y)\gt (x-\sqrt{d}y)2y[/math]. Разделим обе части на [math]2y^2[/math] получим :

[math]\frac{x}{y}-\sqrt{d} \lt \frac{1}{2y^2}[/math]. Значит по теореме о приближении [math]\frac{x}{y}[/math] является подходящей дробью для [math]\sqrt{d}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Для любого вещественного числа [math] \epsilon[/math] и натурального [math]N[/math] существует такое целое число [math] a [/math] и натуральное число [math] b [/math], что [math]b\leqslant N[/math] и [math] ~|b\epsilon - a|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим числа 0 и 1, а также дробные части чисел [math]\epsilon, 2\epsilon, \cdots, N\epsilon[/math]. Если все расстояния между этими [math]N+2[/math] числами было больше [math]\frac{1}{N+1}[/math], то приходим к противоречию. Значит какое-то из расстояний не превосходит [math]\frac{1}{N+1}[/math].

Если [math]~|{b2\epsilon} - {b1\epsilon}|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math], где [math]1\leqslant b1 \lt b2 \leqslant N[/math], то [math]~|(b2\epsilon-[b2\epsilon]) - (b1\epsilon-[b1\epsilon])| \leqslant \frac{1}{N+1}[/math]. Так что берём [math]b = b2-b1[/math] и [math]a = [b2\epsilon]-[b1\epsilon] [/math]. Два других случая очевидны.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Положим [math]\epsilon=\sqrt{d}[/math]. Для любого натурального [math]n\gt 1[/math] в силу леммы существуют такие натуральные числа [math]a_n[/math] и [math]b_n[/math], что [math]b_n \lt n[/math] и [math]~|a_n-b_n\sqrt{d}|\lt \frac{1}{n}[/math]. Далее : [math]~|a_n^2-db_n^2|=~|a_n-b_n\sqrt{d}|\cdot~|a_n+b_n\sqrt{d}|\leqslant\frac{1}{n}~|a_n-b_n\sqrt{d}+2b_n\sqrt{d}|\leqslant 1+2\sqrt{d}[/math]. Поэтому [math]a_n^2-db_n^2[/math] принимает конечное число значений. Но [math]n[/math] принимает бесконечное число значений. Поэтому существует такое число [math]c[/math], что для него есть бесконечно много пар [math](a_n, b_n)[/math], таких что [math]a_n^2-db_n^2=c[/math].

Рассмотрим остатки от деления на [math]~|c|[/math] чисел [math] a_n, b_n[/math]. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары [math] (a_1, b_1),(a_2,b_2)[/math] такие, что [math]a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-b_2^2[/math] и [math] a_1\equiv a_2(mod~|c|)[/math], [math]b_1\equiv b_2(mod~|c|)[/math].
[math]\triangleleft[/math]