Редактирование: Условная вероятность

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
{{Определение
+
'''Условная вероятность''' — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
|id = def1
+
 
|definition =
+
== Определение ==
'''Условная вероятность''' (англ. ''conditional probability''): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии, что произошло событие <tex>B</tex>, называется число
+
 
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
+
Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> — фиксированное вероятностное пространство. Пусть <tex>A,B\in \mathcal{F}</tex> суть два случайных события, причём <tex>\mathbb{P}(B)>0</tex>. Тогда условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии события <tex>B</tex> называется
 +
: <tex>\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}</tex>.
 +
 
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
  
* Если <tex>{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
 
 
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
 
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
: <tex>{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.
+
: <tex>\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)</tex>.
* Если события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> [[Независимые события|независимые]], то <tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)</tex>
+
* Если <tex>\mathbb{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
 +
* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>\mathbb{Q}:\mathcal{F}\to \mathbb{R}</tex>, заданная формулой
 +
: <tex>\mathbb{Q}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F}</tex>,
 +
удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
  
Пусть имеется <tex>12</tex> шариков, из которых <tex>5</tex> {{---}} чёрные, а <tex>7</tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6</tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
+
Если <tex>A,B</tex> — несовместимые события, то есть <tex>A \cap B = \varnothing</tex> и <tex>\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0</tex>, то
 
+
: <tex>\mathbb{P}(A \mid B) = 0</tex>
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \dfrac{1}{2}</tex>, так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}</tex>, так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
+
и
 
+
: <tex>\mathbb{P}(B \mid A) = 0</tex>.
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex>{P}(A \mid B) = \dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \dfrac{1}{3}</tex>
 
 
 
==См. также==
 
  
* [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
+
== См. также ==
 
* [[Формула полной вероятности]]
 
* [[Формула полной вероятности]]
 +
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
 
* [[Формула Байеса]]
 
* [[Формула Байеса]]
* [[Независимые события]]
 
 
== Источники информации ==
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность Википедия {{---}} Условная вероятность]
 
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: