Условная вероятность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Замечания)
м (Fix т.к.)
 
(не показано 15 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Условная вероятность''' — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
+
{{Определение
 +
|id = def1
 +
|definition =
 +
'''Условная вероятность''' (англ. ''conditional probability''): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии, что произошло событие <tex>B</tex>, называется число
 +
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 +
== Замечания ==
  
== Определение ==
+
* Если <tex>{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
 +
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
 +
: <tex>{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.
 +
* Если события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> [[Независимые события|независимые]], то <tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)</tex>
  
Вероятность события <tex> A </tex>, вычисленная при условии, что имело место событие <tex> B </tex>, называется условной вероятностью события <tex> A </tex>.
+
== Пример ==
: <tex>{p}(A \mid B) = \frac{{p}(A\cap B)}{{p}(B)}</tex>.
 
  
== Замечания ==
+
Пусть имеется <tex>12</tex> шариков, из которых <tex>5</tex> {{---}} чёрные, а <tex>7</tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6</tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
  
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
+
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \dfrac{1}{2}</tex>, так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}</tex>, так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
: <tex>{p}(A\cap B) = {p}(A \mid B) {p}(B)</tex>.
 
* Если <tex>{p}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
 
* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>{Q}</tex>, заданная формулой
 
: <tex>{Q}(A) = {p}(A \mid B ) </tex>,
 
удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
 
  
== Пример ==
+
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex>{P}(A \mid B) = \dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \dfrac{1}{3}</tex>
  
Если <tex>A,B</tex> — несовместимые события, то есть <tex>A \cap B = \varnothing</tex> и <tex>{p}(A)>0,\; {p}(B)>0</tex>, то
+
==См. также==
: <tex>{p}(A \mid B) = 0</tex>
 
и
 
: <tex>{p}(B \mid A) = 0</tex>.
 
  
== См. также ==
+
* [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
 
* [[Формула полной вероятности]]
 
* [[Формула полной вероятности]]
 
* [[Формула Байеса]]
 
* [[Формула Байеса]]
 +
* [[Независимые события]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность Википедия {{---}} Условная вероятность]
 +
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
  
== Источники ==
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность]
+
[[Категория: Теория вероятности]]

Текущая версия на 16:45, 4 марта 2018

Определение:
Условная вероятность (англ. conditional probability): Пусть задано вероятностное пространство [math](\Omega, P)[/math]. Условной вероятностью события [math]A[/math] при условии, что произошло событие [math]B[/math], называется число [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}[/math], где [math]A, B \subset \Omega[/math].

Замечания[править]

  • Если [math]{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
[math]{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)[/math].
  • Если события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые, то [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)[/math]

Пример[править]

Пусть имеется [math]12[/math] шариков, из которых [math]5[/math] — чёрные, а [math]7[/math] — белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от [math]1[/math] до [math]5[/math], а белые — от [math]6[/math] до [math]12[/math]. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.

Обозначим за [math]A[/math] событие "достали чёрный шар" и за [math]B[/math] событие "достали шар с чётным номером". Тогда [math]P(B) = \dfrac{1}{2}[/math], так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а [math]P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}[/math], так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна [math]{P}(A \mid B) = \dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \dfrac{1}{3}[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]