Аналитическая функция на области D (открытом связном мн-ве) — функция, имеющая непрерывную производную на этой области.
Функция аналитична в точке, если она аналитична в некоторой ее окрестности.
Условия Коши-Римана
[math] w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z \in D [/math]
Чтобы функция [math] f(z) [/math] была аналитической на области [math] D [/math], необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого порядка функций [math] u [/math] и [math] v [/math] были непрерывны на [math] D [/math] и удовлетворяли условиям Коши-Римана:
- [math] \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} [/math]
- [math] \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} [/math]
Гармоническая функция
[math] f(z) = u(x, y) + iv(x, y) [/math]
Если [math] f [/math] аналитична, то [math] u [/math] и [math] v [/math] должны быть гармоническими функциями, то есть иметь непрерывные частные производные второго порядка на [math] D [/math] и удовлетворять условию Лапласа:
- [math] \Delta u = \frac{\partial^2 u}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 u}{{\partial y}^2} = 0[/math]
- [math] \Delta u = \frac{\partial^2 v}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 v}{{\partial y}^2} = 0[/math]
Интегрирование
[math]
\int\limits_L f(z) dz =
\int\limits_L (u + iv) (dx + iy) dz =
\int\limits_L (u dx - v dy) + i \int\limits_L (v dx + u dy) = \\
\int\limits_a^b [u(x(t), y(t)) x'(t) - v(x(t), y(t)) y'(t)] dt + i \int\limits_a^b [v(x(t), y(t)) x'(t) + u(x(t), y(t)) y'(t)] dt = \\
\int\limits_a^b f[z(t)] z'(t) dt [/math]
Формула Коши
[math] f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i } \int\limits_L \frac{f(z) dz}{z - z_0} [/math]
