Редактирование: Участник:Dgerasimov/Численные методы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 29: Строка 29:
  
 
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
 
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
+
# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
 
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
 
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
  
Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki]
 
 
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
 
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
  
 
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного
 
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного
  
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
+
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
  
 
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
 
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
Строка 45: Строка 44:
 
TODO: какие-то свойства точных решений  
 
TODO: какие-то свойства точных решений  
  
Свойства приближенных методов:
+
Что-то про скорость передачи сигнала и транспортивность.
  
# Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
+
TODO Закон сохранения энергии в интегральной форме
# Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.
 
  
Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$
+
Консервативность — если метод воспроизводит закон сохранения энергии.
  
Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).
+
Какой-то принцип максимума Понтрягина.
  
TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов
 
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
Строка 61: Строка 58:
 
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. ===  
 
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. ===  
 
IMG_1127, страница 12
 
IMG_1127, страница 12
 
Рихтмайтер, страница 54
 
  
 
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.
 
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.
Строка 86: Строка 81:
 
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. ===  
 
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. ===  
 
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. ===  
 
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. ===  
=== 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. ===
+
=== 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. ===  
IMG_1144
+
=== 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. ===  
 
+
=== 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. ===  
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]
 
 
 
Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)
 
 
 
Что-то про выброшенный эффект
 
 
 
Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.
 
 
 
Wall, Inlet, Outlet?
 
 
 
Что-то про векторный потенциал.
 
 
 
=== 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. ===
 
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki]
 
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]
 
 
 
=== 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. ===
 
* [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык]
 
 
 
Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам
 
 
 
 
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. ===
 
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. ===
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)