Участник:Dgerasimov/Численные методы — различия между версиями
(→9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.) |
(/* 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия ...) |
||
| (не показано 11 промежуточных версий 4 участников) | |||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости) | # Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости) | ||
| − | # Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \ | + | # Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию) |
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) | # Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) | ||
| + | Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki] | ||
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). | Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). | ||
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного | Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного | ||
| − | Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \ | + | Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом. |
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное | TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное | ||
| Строка 44: | Строка 45: | ||
TODO: какие-то свойства точных решений | TODO: какие-то свойства точных решений | ||
| − | + | Свойства приближенных методов: | |
| − | + | # Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала. | |
| + | # Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии. | ||
| − | + | Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$ | |
| − | + | Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности). | |
| + | TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
| Строка 58: | Строка 61: | ||
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === | === 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === | ||
IMG_1127, страница 12 | IMG_1127, страница 12 | ||
| + | |||
| + | Рихтмайтер, страница 54 | ||
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q. | Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q. | ||
| Строка 81: | Строка 86: | ||
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === | === 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === | ||
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === | === 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === | ||
| − | === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. === | + | === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. === |
| − | === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. === | + | IMG_1144 |
| − | === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. === | + | |
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki] | ||
| + | |||
| + | Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??) | ||
| + | |||
| + | Что-то про выброшенный эффект | ||
| + | |||
| + | Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления. | ||
| + | |||
| + | Wall, Inlet, Outlet? | ||
| + | |||
| + | Что-то про векторный потенциал. | ||
| + | |||
| + | === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. === | ||
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki] | ||
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki] | ||
| + | |||
| + | === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. === | ||
| + | * [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык] | ||
| + | |||
| + | Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам | ||
| + | |||
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. === | === 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. === | ||
Текущая версия на 21:39, 16 января 2014
Какие-то ключевые темы
- Модельное уравнение теплопроводности
- Элементы теории аппроксимации
- Построение разностных схем методом конечных объемов
- Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
- Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
- Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
- Численное решение нелинейных уравнений
- Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
- Уравнения Навье-Стокса
- Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
- Случай круглой трубы
- Метод SMAC
- Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.
Курсовой проект
TODO: запилить нормальное описание курсача
sfdfsdf
- W: Explicit and implicit methods
- W: Stiff equation
- есть пример исследования устойчивости уравнения
- Stability analysis for systems of differential equations
- есть хороший пример с явным, невным методами Эйера и Рунге-Куттой
- [1]
- Введение в разностные схемы — Самарский, стр. 19, 20
Вопросы от Сегаля
1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.
<wikitex>Начально-краевые задачи:
- Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
- Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
- Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
Классификация: wiki Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
TODO: частные случаи
TODO: какие-то свойства точных решений
Свойства приближенных методов:
- Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
- Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.
Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$
Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).
TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов </wikitex>
2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.
3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.
IMG_1127, страница 12
Рихтмайтер, страница 54
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.
4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.
IMG_1128
5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).
6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).
IMG_1131
7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.
8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.
9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.
IMG_1134
10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.
11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.
12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.
13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.
14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.
IMG_1144
Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)
Что-то про выброшенный эффект
Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.
Wall, Inlet, Outlet?
Что-то про векторный потенциал.
15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.
16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.
Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам
17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.
Учебники от Сегаля
То, что присылалось в письме когда-то
- А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
- Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
- Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
- К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
- С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
- Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.
