Участник:Dgerasimov/Численные методы — различия между версиями
(→9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.) |
(/* 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия ...) |
||
| (не показано 11 промежуточных версий 4 участников) | |||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости) | # Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости) | ||
| − | # Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \ | + | # Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию) |
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) | # Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) | ||
| + | Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki] | ||
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). | Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). | ||
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного | Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного | ||
| − | Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \ | + | Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом. |
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное | TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное | ||
| Строка 44: | Строка 45: | ||
TODO: какие-то свойства точных решений | TODO: какие-то свойства точных решений | ||
| − | + | Свойства приближенных методов: | |
| − | + | # Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала. | |
| + | # Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии. | ||
| − | + | Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$ | |
| − | + | Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности). | |
| + | TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
| Строка 58: | Строка 61: | ||
=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === | === 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === | ||
IMG_1127, страница 12 | IMG_1127, страница 12 | ||
| + | |||
| + | Рихтмайтер, страница 54 | ||
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q. | Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q. | ||
| Строка 81: | Строка 86: | ||
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === | === 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === | ||
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === | === 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === | ||
| − | === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. === | + | === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. === |
| − | === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. === | + | IMG_1144 |
| − | === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. === | + | |
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki] | ||
| + | |||
| + | Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??) | ||
| + | |||
| + | Что-то про выброшенный эффект | ||
| + | |||
| + | Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления. | ||
| + | |||
| + | Wall, Inlet, Outlet? | ||
| + | |||
| + | Что-то про векторный потенциал. | ||
| + | |||
| + | === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. === | ||
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki] | ||
| + | * [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki] | ||
| + | |||
| + | === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. === | ||
| + | * [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык] | ||
| + | |||
| + | Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам | ||
| + | |||
=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. === | === 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. === | ||
Текущая версия на 21:39, 16 января 2014
Содержание
- 1 Какие-то ключевые темы
- 2 Курсовой проект
- 3 sfdfsdf
- 4 Вопросы от Сегаля
- 4.1 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.
- 4.2 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.
- 4.3 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.
- 4.4 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.
- 4.5 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).
- 4.6 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).
- 4.7 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.
- 4.8 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.
- 4.9 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.
- 4.10 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.
- 4.11 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.
- 4.12 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.
- 4.13 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.
- 4.14 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.
- 4.15 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.
- 4.16 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.
- 4.17 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.
- 5 Учебники от Сегаля
Какие-то ключевые темы[править]
- Модельное уравнение теплопроводности
- Элементы теории аппроксимации
- Построение разностных схем методом конечных объемов
- Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
- Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
- Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
- Численное решение нелинейных уравнений
- Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
- Уравнения Навье-Стокса
- Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
- Случай круглой трубы
- Метод SMAC
- Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.
Курсовой проект[править]
TODO: запилить нормальное описание курсача
sfdfsdf[править]
- W: Explicit and implicit methods
- W: Stiff equation
- есть пример исследования устойчивости уравнения
- Stability analysis for systems of differential equations
- есть хороший пример с явным, невным методами Эйера и Рунге-Куттой
- [1]
- Введение в разностные схемы — Самарский, стр. 19, 20
Вопросы от Сегаля[править]
1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.[править]
<wikitex>Начально-краевые задачи:
- Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
- Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
- Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
Классификация: wiki Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного
Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.
TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное
TODO: частные случаи
TODO: какие-то свойства точных решений
Свойства приближенных методов:
- Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
- Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.
Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$
Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).
TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов </wikitex>
2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.[править]
3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.[править]
IMG_1127, страница 12
Рихтмайтер, страница 54
Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.
4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.[править]
IMG_1128
5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).[править]
6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).[править]
IMG_1131
7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.[править]
8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.[править]
9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.[править]
IMG_1134
10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.[править]
11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.[править]
12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.[править]
13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.[править]
14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.[править]
IMG_1144
Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)
Что-то про выброшенный эффект
Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.
Wall, Inlet, Outlet?
Что-то про векторный потенциал.
15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.[править]
16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.[править]
Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам
17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.[править]
Учебники от Сегаля[править]
То, что присылалось в письме когда-то
- А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
- Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
- Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
- К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
- С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
- Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.
