Редактирование: Участник:Iloskutov/Матан 4сем

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| \le g(x)</tex><br>
+
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : f(x,y) < g(x)</tex><br>
 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
 
}}
 
}}
Строка 10: Строка 10:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br>
+
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex><br>
<tex>\nu \colon \mathfrak B \to \overline{\mathbb{R}}, \quad \nu(\mathfrak B) = \mu(\Phi^{-1}(\mathfrak B))</tex> мера<br>
+
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера<br>
<tex>\nu</tex> образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
+
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 18: Строка 18:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, ?)</tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex><br>
<tex>w \geqslant 0</tex> измеримая на <tex>X</tex> функция<br>
+
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция<br>
<tex>\Phi \colon X \to Y, \quad \Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br>
+
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex><br>
Тогда <tex dpi=150>\nu(B) = \displaystyle\int\limits_{\Phi^{-1}(\mathfrak B)} w \,d\mu</tex> взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> вес
+
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
 
}}
 
}}
  
Строка 27: Строка 27:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) </tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex><br>
 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br>
 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br>
<tex>w \geqslant 0</tex> вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> изм. на <tex>X</tex><br>
+
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex><br>
<tex>\nu(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex><br>
+
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex><br>
Тогда <tex>w</tex> плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>
+
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 37: Строка 37:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu\colon \mathfrak A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br>
Тогда <tex>\mu</tex> заряд
+
<tex>\mu</tex> - заряд
 
}}
 
}}
  
Строка 44: Строка 44:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\forall E \in B \ (B \in \mathfrak A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br>
+
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br>
<tex>B \in \mathfrak A</tex> множество положительности
+
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
 
}}
 
}}
  
Строка 51: Строка 51:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\mu, \nu \colon \mathfrak A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in \mathfrak A: \mu (a) = 0 \Rightarrow \nu (a) = 0</tex><br>
+
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex><br>
Тогда <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
+
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 58: Строка 58:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu)</tex><br>
 
<tex>X \times Y</tex> — декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b \mid a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex><br>
 
<tex>m \colon A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot \nu(b)</tex><br>
 
<tex>m</tex> — произведение мер <tex>\mu, \nu</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
 
 
}}
 
}}
 
 
=== Сечение множества ===
 
=== Сечение множества ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex><br>
 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex><br>
 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>
 
 
 
}}
 
}}
 
 
=== Функция распределения ===
 
=== Функция распределения ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex><br>
 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно<br>
 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
 
 
}}
 
}}
 
 
=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
 
=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 99: Строка 85:
  
 
=== Интеграл комплекснозначной функции ===
 
=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
 
|statement=
 
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex><br>
 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
 
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
 
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex><br><!--
 
--><tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
 
|proof=
 
}}
 
 
 
=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
 
=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 115: Строка 91:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
+
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
 
=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(E, \mu) \ \bigl|\  \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
+
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\  \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 153: Строка 129:
 
=== Гильбертово пространство ===
 
=== Гильбертово пространство ===
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
+
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 180: Строка 156:
 
}}
 
}}
 
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
 
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
{{Определение
 
|definition=Ряд сходится, если существует элемент из гильбертового
 
пространства, являющийся пределом частичных сумм.
 
}}
 
 
 
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
 
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{ikt}</tex> — ряд Фурье
+
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
 
}}
 
}}
  
Строка 208: Строка 179:
  
 
=== Коэффициенты Фурье функции ===
 
=== Коэффициенты Фурье функции ===
{{Определение
 
|definition= Коэффициенты Фурье функции <tex>f</tex> — <tex>a_0(f), a_k(f), b_k(f), c_k(f)</tex> из формулы тригонометрического ряда.
 
 
Можно вычислить по формулам:
 
<tex>
 
a_0 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \,dx \\
 
a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\
 
b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\
 
c_k = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(-ikx) \,dx </tex>
 
}}
 
 
 
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
 
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 239: Строка 199:
 
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
 
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
 
* <tex>\forall h \in D \  K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad  \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
 
* <tex>\forall h \in D \  K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad  \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в совокупности: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
+
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
+
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
 
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
 
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
 
}}
 
}}
Строка 252: Строка 212:
  
 
=== Метод суммирования средними арифметическими ===
 
=== Метод суммирования средними арифметическими ===
{{Определение
 
|definition=<tex>\sum a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^n S_k</tex>
 
}}
 
  
 
=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
 
=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
 
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
 
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
{{Определение
 
|definition=
 
<tex>\varphi \colon \mathbb R^2 \to M \subset \mathbb R^3</tex>.<br>
 
 
Мера в <tex>M</tex> — взвешенный образ меры Лебега в <tex>\mathbb R^2</tex> с весом <tex>|\varphi'_u \times \varphi'_v|</tex>
 
}}
 
 
 
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
 
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 270: Строка 220:
 
}}
 
}}
  
=== Кусочно-гладкая поверхность в ℝ<sup>3</sup> ===
+
=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
 
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
Строка 277: Строка 227:
 
* конечного числа точек
 
* конечного числа точек
 
}}
 
}}
 +
  
 
=== Сторона поверхности ===
 
=== Сторона поверхности ===
Строка 296: Строка 247:
  
 
=== Интеграл II рода ===
 
=== Интеграл II рода ===
{{Определение
 
|definition=
 
<tex>
 
\gamma \colon [a, b] \to \mathbb R^m, \quad V = (A_1, \dotsc, A_m) \\
 
\displaystyle\int_\gamma A_1 \,dx_1 + \dotsb + A_m \,dx_m = \int_a^b \langle V, \gamma' \rangle \,dt
 
</tex>
 
}}
 
 
 
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
 
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
{{Определение
 
|definition=Ориентация контура называется согласованной со стороной поверхности, если векторное произведение нормали и вектора скорости направлено внутрь контура.
 
}}
 
 
 
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
 
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 325: Строка 264:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при почти всех <tex>x</tex>. Тогда
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int\limits_X \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int\limits_X U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
+
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>f_n(x) = U_1(x) + U_2(x) + \dotsb + U_n(x)</tex>, далее по т. Леви<br>
 
<tex>f = \lim f_n</tex><br>
 
<tex>0 \leqslant f_n \leqslant f_{n+1} \leqslant \dotsb</tex><br>
 
Тогда выражение слева от знака равенства равно <tex>\displaystyle\int\limits_X f \,d\mu</tex>, а справа — <tex> \displaystyle\lim \int\limits_X \sum_{k=1}^n U_k(x) \,d\mu = \lim_{n \to +\infty}\Bigl(\int\limits_X f_n \,d\mu\Bigr) = \int\limits_X f \,d\mu</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 340: Строка 275:
 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>X_n = X (|f| > n) \quad X_n \supset X_{n+1} \supset ... \quad \bigcap X_n  = e</tex>, т.к. <tex>f</tex> - суммируема, <tex>\mu e = 0</tex><br>
 
<tex>\nu E = \int\limits_E |f| d\mu</tex> - мера <tex>\nu</tex><br>
 
<tex>\nu X < + \infty</tex> (т.к. <tex>f</tex> - суммируема и <tex>\int\limits_X |f| d\mu < +\infty</tex>)<br>
 
Тогда по свойству непрерывности меры сверху: <tex>\nu X_n \to 0</tex><br>
 
Запишем данное высказывание как <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon : \nu(X_{n_\epsilon}) < \dfrac{\epsilon}{2}</tex>, т.е. <tex>\int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br>
 
Теперь пусть <tex>\delta := \dfrac{\epsilon}{2 \cdot n_\epsilon}</tex><br>
 
<tex>\int\limits_E |f| d\mu = \int\limits_{E \cap X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} |f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} n_\epsilon d\mu \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon \cdot \mu E < \epsilon</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 356: Строка 284:
 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>f_n</tex> - суммируема, т.к. <tex>\int |f_n| \leqslant \int g < + \infty</tex><br>
 
<tex>f</tex> - суммируема, т.к. <tex>\exists f_{n_k} \to f</tex> почти везде, <tex> |f_{n_k}| \leqslant g \Rightarrow |f| \leqslant g</tex><br>
 
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \to 0 ?</tex><br>
 
Рассмотрим два случая:<br>
 
1) <tex>\mu X < +\infty</tex><br>
 
Берём <tex>\epsilon > 0 \quad X_n := X (|f_n - f| > \epsilon) \quad \mu X_n \to 0</tex><br>
 
<tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu</tex><br>
 
Для <tex>X_n</tex> выполнено <tex>|f_n - f| \leqslant |f_n| + |f| \leqslant 2 \cdot g</tex><br>
 
А для <tex>X^C_n</tex> выполнено <tex> |f_n - f| < \epsilon</tex><br>
 
Тогда <tex>\int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} 2 \cdot g d\mu + \int\limits_{X^C_n} \epsilon d\mu \leqslant 2 \cdot \int\limits_{X_n} g + \epsilon \cdot \mu X \leqslant \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
 
Получили <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N: \forall n > N \quad \int\limits_X |f_n - f| d\mu < \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br>
 
Осталось найти номер <tex>N</tex>. Нужно взять такой, чтобы <tex>\mu X_n < \delta</tex>.<br>
 
2) <tex>\mu X = +\infty</tex><br>
 
TBD
 
 
}}
 
}}
  
Строка 375: Строка 289:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex>
+
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Легко видеть, что <tex>f, f_n</tex> — суммируемые.<br>
 
<tex>
 
h_n := \sup(|f_n - f|, |f_{n+1} - f|, \dotsc) \\
 
h_n \geqslant h_{n+1} \geqslant \dotsb; \qquad |f_n - f| \leqslant 2g \Rightarrow h_n \leqslant 2g
 
</tex>
 
 
Кстати, <tex>\lim h_n = \varlimsup |f_n - f| = 0</tex> при п.в. <tex>x</tex>.
 
 
Рассмотрим ф-ии <tex>2g - h_n \geqslant 0</tex> — возр.
 
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \int_X \lim(2g - h_n) = 2 \int_X g</tex>
 
С другой стороны,
 
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \lim\biggl(2 \int_X g - \int_X h_n\biggr) \Rightarrow \int_X h_n \to 0 \Rightarrow \int_X |f_n - f| \leqslant \int_X h_n</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 396: Строка 298:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C > 0: \forall n \displaystyle\int_X {f_n \;d\mu} \leqslant C</tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex><br>
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu \leqslant C</tex>
+
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex dpi=150>
 
g_n = \inf(f_n, f_{n+1}, \dotsc)\\
 
g_n(x) \leqslant g_{n+1}(x) \leqslant \dotsb \quad \lim g_n = \varliminf f_n = f\\
 
\displaystyle\int g_n \leqslant \int f_n \leqslant C\\
 
\int f \;d\mu = \lim_{n \to +\infty} \int g_n \leqslant C
 
</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 414: Строка 310:
 
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
 
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим <tex>f_n(x) = f(x, y_n)</tex>, где <tex>y_n \rightarrow y_0, y_n \in (Y \cap U) \setminus \{a\}</tex>.
 
Применим теорему Лебега для <tex>f_n</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 425: Строка 319:
 
# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
 
# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
 
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
 
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
+
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>x \in X, y_0 + h \in Y, h \not = 0</tex><br>
 
<tex>F(x, h) = \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h}</tex> <br>
 
Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>:
 
 
<tex>f'_y</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}</tex>, поэтому найдутся такие <tex>\delta</tex> и <tex>g</tex>, что <tex>|f'_y(x, y)| \leq g(x)</tex> при почти всех <tex>x</tex> и при <tex>y \in Y, 0 < |y - y_0| < \delta</tex>.
 
 
Теорема Лагранжа о среднем применённая к <tex>y \rightarrow f(x, y)</tex> на <tex>(y_0, y_0 + h)</tex> даст <tex>F(x, h) = f'_y(x, y_0 + \theta h)</tex>. Поэтому <tex>F(x, h) \leq g(x)</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 439: Строка 326:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x}  = \dfrac{\pi}{2} \cdot \operatorname{sgn}(\alpha)</tex>
+
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x}  = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Можно, например, [[wikipedia:Dirichlet integral#Via the Dirichlet kernel|вот так]].
 
 
}}
 
}}
  
Строка 453: Строка 339:
 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Это очевидно верно, если <tex>f -</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>.
 
 
Для произвольной неотрицательной <tex>f</tex> рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций <tex>f_n</tex> и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных <tex>f</tex>.
 
 
Для отрицательных там надо что-то ещё сделать))))
 
 
}}
 
}}
  
Строка 466: Строка 347:
 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\Rightarrow)</tex> Очевидно<br>
 
<tex>\Leftarrow)</tex> Пусть <tex>w > 0</tex> (без потери общности)<br>
 
<tex>A = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} A_k (q^k \leqslant w \leqslant q^{k-1}) \quad q \in (0, 1)</tex><br>
 
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu (A_k) \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
 
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
 
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot q^k \cdot \mu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
 
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
 
<tex>q \to 1-0</tex><br>
 
<tex>\nu(A) = \int\limits_{A} w d\mu</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 480: Строка 352:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad A \in \mathfrak A, \quad \mu A \geqslant 0</tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности<br>
Тогда <tex>\exists B \subset A</tex> множество положительности: <tex>\mu(B) \geqslant \mu(A)</tex>  
+
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>  
 
|proof=
 
|proof=
<div style="margin-left: 1em">
 
{{Определение
 
  |definition=<tex>C</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности,если <tex>\forall B \subset C \quad \mu B \geqslant -\varepsilon</tex>
 
}}
 
{{Утверждение
 
  |statement= <tex>\forall \varepsilon > 0 \ A</tex> содержит мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности.
 
  |proof=
 
#<tex>A</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — очевидно
 
#<tex>A</tex> не явл. мн-вом <tex>\varepsilon</tex>-положительности: <tex>\exists B_1 \subset A : \mu B_1 < -\varepsilon</tex><br><!--
 
--><tex>C_1 := A \setminus B_1 \Rightarrow \mu C_1 > \mu A</tex>
 
##<tex>C_1</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — ОК
 
##Иначе <tex>\exists B_2 \subset C_1 : \mu B_2 < -\varepsilon \quad C_2 := C_1 \setminus B_2 \quad \mu C_2 > \mu C_1</tex>
 
#Продолжаем в том же духе — и рано или поздно приходим к успеху, т.к. иначе <tex>\mu \left( \bigcup B_i \right) = -\infty</tex>
 
}}</div>
 
 
<tex>C_1 \subset A</tex> — мн-во 1-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_1 \geqslant \mu A</tex><br>
 
<tex>C_2 \subset C_1</tex> — мн-во <tex>1/2</tex>-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_2 \geqslant \mu C_1</tex><br>
 
<tex>\vdots</tex><br>
 
<tex>C_n \subset C_{n-1}</tex> — мн-во <tex>1/n</tex>-положительности: &nbsp; <tex>\mu C_n \geqslant \mu C_{n-1}</tex><br>
 
Пусть <tex>B = \bigcap C_i</tex><br>
 
<tex>\mu B = \lim\limits_{i \to +\infty} \mu C_i \geqslant \mu A</tex>
 
 
}}
 
}}
  
=== Теорема Радона Никодима ===
+
=== Теорема Радона--Никодима ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Радон, Никодим
 
|author=Радон, Никодим
Строка 513: Строка 364:
 
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
 
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
==== Единственность ====
 
<div style="margin-left: 1em">
 
 
   {{Лемма
 
   {{Лемма
   |statement=Если <tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex> и <tex>\displaystyle \forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>, то <tex>f = g</tex> п.в.
+
   |statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
  |proof=
+
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
<tex>h := f - g</tex>.
 
 
 
<tex>
 
\forall A \in \mathfrak A \quad \displaystyle\int_A h \,d\mu = 0 \\ \\
 
X = X(h \geqslant 0) \cup X(h < 0) \\ \\
 
\int\limits_{h \geqslant 0} h \,d\mu = 0, \quad \int\limits_{h < 0} h \,d\mu = 0
 
</tex><br>
 
Легко видеть, что <tex>\displaystyle\int_X |h| \,d\mu = 0 \ \Rightarrow h = 0</tex>&nbsp;п.в.
 
 
   }}
 
   }}
</div>
+
Хз если честно((99
<h4>Существование</h4> <!-- мда чёт ==== не работают нифига((99 -->
 
TBD
 
 
}}
 
}}
  
 +
=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
|proof=
 +
}}
 
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
 
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
 
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br>
 
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br>
Пусть <tex>c > |\det \varphi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
+
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
Тогда <tex>\exists U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \subset U(A), a \in Q</tex><br>
+
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex><br>
 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Строка 545: Строка 389:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\phi \colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br>
+
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br>
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |\det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
+
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
Строка 553: Строка 397:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\varphi\colon O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> диффеоморфизм<br>
+
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> - диффеоморфизм<br>
Пусть <tex>O_1 := \varphi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> измерима на <tex>O_1</tex><br>
+
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> - измерима на <tex>O_1</tex><br>
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \varphi)(x) \cdot |\det \varphi'(x)| d\mu(x)</tex>
+
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
Строка 569: Строка 413:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex><br>
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B}</tex><br>
+
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex><br>
 
Тогда:
 
Тогда:
  
# <tex>C_x - \mu</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
+
# <tex>C_x - \mu</tex>-измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \mapsto \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
+
# <tex>x \to v(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>
+
# <tex>mc = \int\limits_X v(C_x)d\mu(x)</tex>
  
 
Аналогично для <tex>C_y</tex>
 
Аналогично для <tex>C_y</tex>
Строка 598: Строка 442:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
+
<tex>\beta(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>
 
 
С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
 
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>
 
 
С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
 
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
 
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>
 
 
Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
 
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>
 
 
Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 618: Строка 449:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> сигма-конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex><br>
<tex>f \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}</tex> — <tex>m</tex>-сумм. Тогда:
+
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m-</tex>сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> суммируема при всех <tex>x</tex>
+
# <tex>C_x - </tex> суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \mapsto q(x) = \int f_x \,d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
+
# <tex> x \to q(x) = \int f_x dv</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f \,d\nu = \int q \,d\mu</tex>
+
# <tex>\int f dv = \int q d\mu</tex>
  
 
Аналогично для <tex>C_y</tex>
 
Аналогично для <tex>C_y</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>f = f_+ - f_- \quad \int\limits_{X \times Y} f_\pm \,dm</tex> — кон.<br>
 
<tex>\displaystyle\int_{X \times Y} f \,dm = \int_{X \times Y} f_+ \,dm - \int_{X \times Y} f_- \,dm</tex><br>
 
<tex>\displaystyle\int(f_x)_+ , \int(f_x)_-</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex><br>
 
Т.к. <tex>f_+ \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_X \left( \int_Y (f_x)_+ \,d\nu \right) d\mu</tex> — кон. <tex> \Rightarrow \displaystyle\int_Y (f_x)_+\,d\nu</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex>
 
 
<tex>
 
\varphi(x)_+ = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu \\
 
\varphi(x) = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu - \displaystyle\int_Y (f_x)_- \,d\nu \\
 
\int_X |\varphi(x)| \,d\mu = {} \\
 
{} = \int_X \left| \int_Y (f_x)_+ - \int_Y (f_x)_- \right| \,d\mu \leqslant \int_X \left( \left| \int_Y (f_x)_+ \right| - \left|\int_Y (f_x)_-\right| \right) \,d\mu \\
 
\int\limits_{X \times Y} f \,dm = \left(\int\limits_{X \times Y} f_+ \right) - \left(\int\limits_{X \times Y} f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f_+ - \int\limits_X \int\limits_Y f_- = {} \\
 
{} = \int\limits_X \left(\int\limits_Y f_+ - \int\limits_Y f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f
 
</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 645: Строка 463:
 
|statement=
 
|statement=
 
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex><br>
 
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex><br>
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
+
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma(\dfrac{n}{2} + 1)}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
  
=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля Стилтьеса (с леммой) ===
+
=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> измерима, почти везде конечна<br>
+
<tex>(X, \mathfrak{N}, \mu), \quad h</tex> - измерима, почти везде конечна<br>
<tex>H</tex> функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex><br>
+
<tex>H</tex> - функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex><br>
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex><br>
+
<tex>v = h(\mu)</tex> т.е. <tex>v(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex><br>
<tex>\mu_H</tex> мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex><br>
+
<tex>\mu_{h}</tex> - мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex><br>
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
+
Тогда <tex>\mu_h \equiv v</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
 
|proof=
 
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex><br>
 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h < b - \dfrac1n\right)</tex><br>
 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h < b - \dfrac1n\right) = \mu X(h<b)</tex> &nbsp; <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h < b - \dfrac1n\right) = X(h<b)\right)</tex><br>
 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex>&nbsp;<tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 670: Строка 484:
 
Остальное из прошлой леммы<br>
 
Остальное из прошлой леммы<br>
 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
+
|proof=
 
}}
 
}}
  
Строка 680: Строка 494:
  
 
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
 
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
+
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r</tex>
 
|proof=
 
|proof=
# Напрямую следует из 2
+
1. Напрямую следует из 2
# Пусть<br><!--
 
--><tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex><br><!--
 
--><tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex><p><!--
 
-->Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant \left(\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}}\right)^\frac{s}{r} \cdot \left(\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}}\right)^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \cdot (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (по Гёльдеру)</p>
 
}}
 
  
=== Полнота L^p ===
+
2. Пусть
{{Теорема
 
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
 
|proof=
 
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex><br>
 
Строим кандидата на роль предела:<br>
 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
 
    \varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
 
    \varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex><br>
 
  
Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex><br>
+
<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>
  
Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex><br>
+
<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>
  
<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex><br>
+
Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
 +
}}
  
Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex><br>
+
=== Полнота L^p ===
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex><br>
+
{{Теорема
<br>
+
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> - полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема<br>
+
|proof=Ну там сложно что-то((((
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>.<br>
 
<br>
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex><br>
 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex><br>
 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна<br>
 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex><br>
 
<br>
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex><br>
 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex><br>
 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex><br>
 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex><br>
 
<br>
 
По теореме Фату:<br>
 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 728: Строка 516:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая &nbsp;<tex dpi=160>{} = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times \chi_{E_k}</tex>
+
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>
  
 
<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>
 
<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>
Строка 736: Строка 524:
 
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
 
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
 
|proof=
 
|proof=
#  <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f| < +\infty</tex><br><!--
 
-->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!--
 
--><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
 
#  <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!--
 
--><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!--
 
--><tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex><br><!--
 
--><tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
 
 
}}
 
}}
  
Строка 748: Строка 529:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
+
<tex>F_1, F_2 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
+
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_1}=0, f|_{F_2}=1</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>.<br>
 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex><br>
 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex><br>
 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex><br>
 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.
 
 
<tex>f(x) := \sup \{x \in G_\alpha \mid \alpha</tex> — дв. рац. <tex> \}</tex> — непр.
 
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.  &nbsp;&nbsp;<tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \!\!\!\!\!\!\displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}}\!\!\!\!\!\! G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 825: Строка 598:
 
}}
 
}}
  
=== Теорема Рисса Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
+
=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Строка 863: Строка 636:
 
}}
 
}}
  
=== Теорема Римана Лебега ===
+
=== Теорема Римана--Лебега ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex><br>
+
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex><br>
  
 
Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
 
Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
Строка 926: Строка 699:
 
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
 
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex dpi=150>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>
+
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex><br>
<tex dpi=150>
+
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex><br>
\left|\dfrac{\sum_{k=0}^n S_k}{n+1} - S\right| = \left|\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}\right| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}\\
+
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br>
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\varepsilon}{2} \\
+
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \varepsilon</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 955: Строка 727:
 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br>
 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br>
 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P \,dx + Q \,dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx\, dy</tex>
+
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
Строка 965: Строка 737:
 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br>
 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br>
 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
+
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
  
=== Формула Гаусса Остроградского ===
+
=== Формула Гаусса--Остроградского ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>D \subset \mathbb R^3 \quad \partial D</tex> — ориент. полем внешних нормалей,<br>
 
<tex>(P, Q, R)</tex> — гл. век. поле в <tex>D</tex>. Тогда
 
: <tex>\displaystyle\iint\limits_{\partial D} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint\limits_D (P'_x + Q'_y + R'_z)\,dx\,dy\,dz</tex>
 
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
 
 
=== Бескоординатное определение ротора ===
 
=== Бескоординатное определение ротора ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)