Редактирование: Участник:Masha

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Формула Бержа ==
 
== Формула Бержа ==
 
{{Определение
 
|definition =<tex>\mathrm{odd}({G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.
 
}}
 
 
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; \equiv \; 0 \; ( mod \; 2) \; </tex>, где <tex>G</tex> {{---}} граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
+
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0</tex>, где <tex>G</tex> - граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
Удалим из графа <tex>G</tex> множество <tex>S</tex>, получим <tex>t</tex> компонент связности, содержащих <tex>k_1, k_2 ... k_t</tex> вершин соответственно.
+
Удалим из графа <tex>G</tex> множество <tex>S</tex>, получим <tex>t</tex> компонент связности, содержащих <tex>k_1, k_2 ... k_t</tex> вершин соответсвенно.
<tex>|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; </tex>, так как в сумме это все вершины исходного графа <tex>G</tex>.  
+
<tex>|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n</tex> т. к в сумме это все вершины исходного графа <tex>G</tex>.  
Возьмем данное равенство по модулю два: <tex>(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)</tex>
+
Возьмем данное равенство по модулю два: <tex>(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2</tex>
В сумме <tex>\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)</tex> число единиц равно числу нечетных компонент <tex>odd(G \setminus S)</tex>. Таким образом, <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;</tex>.  
+
В сумме <tex>\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)</tex> число единиц равно числу нечетных компонент <tex>odd(G \setminus S)</tex>. Таким образом, <tex> \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 21: Строка 15:
 
|statement= <tex>def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)</tex>
 
|statement= <tex>def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
<tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;</tex>
+
<tex> \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2</tex>
  
  
Строка 27: Строка 21:
  
  
1. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; </tex>, тогда для любых <tex>S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; </tex>, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю.  
+
1) Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 </tex>, тогда <tex>\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; </tex> и выполнен [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|критерий Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю.
 +
 
 +
2) Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex>  с <tex>k</tex> вершинами, множество вершин нового графа обозначим как <tex>W</tex>. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим новый граф <tex>H \; = \; K_k + G</tex>, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что <tex>\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; </tex>. Рассмотрим <tex>S \subset V_H\;</tex>.
 +
 
 +
    a) Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда посколько граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) = 0</tex> или <tex>odd(G \setminus S) = 1</tex>. В случае <tex>odd(H \setminus S) = 0</tex> условие очевидно выполняется т.к <tex>\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|</tex>.  
  
2. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex>  с <tex>k</tex> вершинами, <tex>W</tex> - вершины <tex>K_k</tex>. Каждую вершину <tex>K_k</tex> соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим граф <tex>H \; = \; K_k + G \;</tex>, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых <tex>S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; </tex>.
 
Рассмотрим <tex>S \; \subset \; V_H\;</tex>:
 
  
* Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда поскольку граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;</tex> или <tex>odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>.
+
    б) Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) = 1</tex>, <tex>|V_H| = n + k = n + odd(G \setminus A) - |A|</tex>, где <tex>A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) - |A|</tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит <tex> 1 \leq |S| </tex>.
** В случае <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; </tex> условие очевидно выполняется, так как для любых <tex>S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;</tex>.
 
** Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, <tex>|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex>, где <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме, мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, <tex> 1 \leq |S| </tex>.
 
  
 +
Если <tex>W \subset S</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) = odd(G \setminus (S \cap V)) \leq |S \cap V| + k \leq |S| </tex>.
  
* Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; </tex>, так как <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>. Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \; \leq \; k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex> из графа <tex>G\;</tex>. Заметим, что после удаления в графе осталось <tex>odd(G \setminus A)\; </tex> нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на <tex>k</tex>. Значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex>. Из <tex>def(G) \; \leq \; k</tex> и <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex> следует <tex>def(G) \; = \; k \; </tex>.
+
Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \leq k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) </tex> из графа <tex>G</tex>. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на <tex>k</tex> больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, <tex>k \leq def(G)</tex>. Значит, <tex>def(G) = k</tex>. Теорема доказана.
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)