Редактирование: Участник:Masha

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 8: Строка 8:
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; \equiv \; 0 \; ( mod \; 2) \; </tex>, где <tex>G</tex> {{---}} граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
+
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; </tex>, где <tex>G</tex> {{---}} граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
 
Удалим из графа <tex>G</tex> множество <tex>S</tex>, получим <tex>t</tex> компонент связности, содержащих <tex>k_1, k_2 ... k_t</tex> вершин соответственно.
 
Удалим из графа <tex>G</tex> множество <tex>S</tex>, получим <tex>t</tex> компонент связности, содержащих <tex>k_1, k_2 ... k_t</tex> вершин соответственно.
 
<tex>|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; </tex>, так как в сумме это все вершины исходного графа <tex>G</tex>.  
 
<tex>|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; </tex>, так как в сумме это все вершины исходного графа <tex>G</tex>.  
Возьмем данное равенство по модулю два: <tex>(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)</tex>
+
Возьмем данное равенство по модулю два: <tex>(|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)</tex>
 
В сумме <tex>\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)</tex> число единиц равно числу нечетных компонент <tex>odd(G \setminus S)</tex>. Таким образом, <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;</tex>.  
 
В сумме <tex>\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)</tex> число единиц равно числу нечетных компонент <tex>odd(G \setminus S)</tex>. Таким образом, <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;</tex>.  
 
}}
 
}}
Строка 37: Строка 37:
  
  
* Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; </tex>, так как <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>. Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \; \leq \; k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex> из графа <tex>G\;</tex>. Заметим, что после удаления в графе осталось <tex>odd(G \setminus A)\; </tex> нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на <tex>k</tex>. Значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex>. Из <tex>def(G) \; \leq \; k</tex> и <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex> следует <tex>def(G) \; = \; k \; </tex>.
+
* Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; </tex>, так как <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>. Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \; \leq \; k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex> из графа <tex>G\;</tex>. Заметим, что после удаления в графе осталось <tex>odd(G \setminus A)\; </tex> нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на <tex>k</tex>. Значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex>. Из <tex>def(G) \; \leq \; k</tex> и <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex> следует <tex>def(G) \; = \; k \; </tex>.
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)