Участник:Masha — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Формула Бержа)
(Формула Бержа)
Строка 1: Строка 1:
 
== Формула Бержа ==
 
== Формула Бержа ==
  
{{Лемма (1)
+
{{Лемма
 
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0</tex>, где <tex>G</tex> - граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
 
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0</tex>, где <tex>G</tex> - граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
Строка 26: Строка 26:
  
 
Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда посколько граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;</tex> или <tex>odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>. В случае <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0</tex> условие очевидно выполняется т.к <tex>\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|</tex>.  
 
Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда посколько граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;</tex> или <tex>odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>. В случае <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0</tex> условие очевидно выполняется т.к <tex>\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|</tex>.  
Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, <tex>|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|</tex>, где <tex>A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) - |A|</tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме (1), мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит <tex> 1 \leq |S| </tex>.
+
Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, <tex>|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|</tex>, где <tex>A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) - |A|</tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме, мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит <tex> 1 \leq |S| </tex>.
  
 
Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;</tex>.
 
Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;</tex>.

Версия 16:46, 6 июня 2021

Формула Бержа

Лемма:
[math](n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0[/math], где [math]G[/math] - граф с [math]n[/math] вершинами, [math]S \in {V}_{G}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Удалим из графа [math]G[/math] множество [math]S[/math], получим [math]t[/math] компонент связности, содержащих [math]k_1, k_2 ... k_t[/math] вершин соответсвенно. [math]|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n[/math] т. к в сумме это все вершины исходного графа [math]G[/math]. Возьмем данное равенство по модулю два: [math](|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math]

В сумме [math]\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)[/math] число единиц равно числу нечетных компонент [math]odd(G \setminus S)[/math]. Таким образом, [math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
[math]def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math]


Рассмотрим несколько случаев:


1) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; [/math], тогда [math]\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; [/math] и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю.

2) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k [/math], тогда рассмотрим исходный граф [math]G[/math] и полный граф [math]K_k[/math] с [math]k[/math] вершинами, множество вершин нового графа обозначим как [math]W[/math]. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной [math]G[/math]. Получим новый граф [math]H \; = \; K_k + G[/math], докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что [math]\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; [/math]. Рассмотрим [math]S \; \subset \; V_H\;[/math].

Если [math]W \not\subset S[/math], тогда посколько граф [math]K_k[/math] полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа [math]G[/math], то граф [math]H[/math] связный и [math]odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;[/math] или [math]odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;[/math]. В случае [math]odd(H \setminus S) \; = \; 0[/math] условие очевидно выполняется т.к [math]\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|[/math]. Рассмотрим случай [math]odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;[/math], [math]|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) - |A|[/math], где [math]A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) [/math]. Разность [math]odd(G \setminus A) - |A|[/math] имеет ту же четность, что и [math]n[/math], поэтому [math]|V_H|[/math] четно, значит, по лемме, мощность [math]S[/math] нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит [math] 1 \leq |S| [/math].

Если [math]W \subset S \;[/math], то [math]odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \;[/math].

Таким образом, для графа [math]H[/math] выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе [math]H[/math], удалим вершины [math]W[/math] из графа [math]H[/math]. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин [math]k[/math], значит, [math]def(G) \; \leq \; k[/math]. Удалим множество вершин [math]A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) [/math] из графа [math]G\;[/math]. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на [math]k[/math] больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы [math]k[/math] нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, [math]k \; \leq \; def(G)[/math]. Значит, [math]def(G) \; = \; k[/math]. Теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

— Лекция А.С. Станкевича