Участник:Nkorzh — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(убрал пробелы перед запятой)
(русский язык)
Строка 6: Строка 6:
 
Тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_s</tex> обратных корней <tex>Q(t)</tex> с кратностью соответственно <tex>f_1, f_2, \,\dots, f_s</tex>:
 
Тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_s</tex> обратных корней <tex>Q(t)</tex> с кратностью соответственно <tex>f_1, f_2, \,\dots, f_s</tex>:
  
# Существует единственный максимальный обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>.<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.
+
# Существует единственный максимальный по модулю обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>.<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.
#  Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые можно получить разложением <tex>A(t)</tex> на сумму простых дробей в вида <tex>\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}</tex>. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_l</tex>, у каждого из которых некоторая максимальность кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}</tex>, где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби.
+
#  Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые можно получить разложением <tex>A(t)</tex> на сумму простых дробей в вида <tex>\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}</tex>. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_l</tex>, в котором каждый обратный корень имеет максимальную кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}</tex>, где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби.
  
 
== Примеры задач ==
 
== Примеры задач ==

Версия 22:05, 13 июня 2021

Асимптотическое поведение последовательности, заданной рекуррентным соотношением

Нахождение асимптотики рекуррентной последовательности

Здесь будет рассмотрен метод поиска функции, которая имеет одинаковую асимптотику[1] с [math]a_n[/math], то есть при [math]n \rightarrow \infty[/math] будет отличаться от [math]a_n[/math] в константу раз. Из теоремы о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности известно, что последовательность, заданная рекуррентным соотношением, представима в виде дробно-рациональной производящей функции в следующем виде: [math]A(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_s \cdot t^s[/math], [math]deg(P) \lt s[/math], тогда [math]Q(t)[/math] — многочлен конечной степени, следовательно, он имеет [math]s[/math] корней [math]t_i\in \mathbb{C}[/math], каждый из которых имеет некоторую кратность [math]f_i[/math].

Найдем обратные корни к [math]t_i[/math], то есть [math]r_i = \dfrac{1}{t_i}[/math]. Тогда имеем набор [math]r_1, r_2, \,\dots, r_s[/math] обратных корней [math]Q(t)[/math] с кратностью соответственно [math]f_1, f_2, \,\dots, f_s[/math]:

  1. Существует единственный максимальный по модулю обратный корень: [math]\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| \gt |r_j|[/math].
    Тогда [math]r_i \in \mathbb{R}[/math], в этом случае [math]a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}[/math].
  2. Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:
    Найдем коэффициенты корней [math]c_i[/math], которые можно получить разложением [math]A(t)[/math] на сумму простых дробей в вида [math]\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}[/math].
    Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем набор [math]r_1, r_2, \,\dots, r_l[/math], в котором каждый обратный корень имеет максимальную кратность [math]f[/math]. Тогда [math]\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}[/math], где [math]z[/math] — модуль каждого из корней.
    Значит [math]\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}[/math], где [math]c_j[/math] — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби.

Примеры задач

Задача:
Оцените асимптотическое поведение коэффициента [math]a_n[/math] производящей функции [math]A(t)=\dfrac{t^2}{1 - 2t - t^2 + 2t^3}[/math] при [math]n \rightarrow \infty[/math].

Найдем корни знаменателя производящей функции: [math]Q(t) = 1 - 2t - t^2 + 2t^3 = (1 - 2t)(1 - t)(1 + t)[/math], тогда обратные корни: [math]r_1 = 2,\,f_1 = 1;\; r_2 = 1,\, f_2 = 1;\; r_3 = -1,\, f_3 = 1[/math].

Выберем максимальный по модулю [math]r_1 = 2[/math], тогда [math]a_n \sim n^{f_1 - 1} \cdot r_{1}^{n} = 2^n[/math].

Задача:
Оцените асимптотическое поведение коэффициента [math]a_n[/math] производящей функции [math]A(t)=\dfrac{1}{(1 - 2t)(1 + 4t^2)}[/math] при [math]n \rightarrow \infty[/math].

Найдем корни знаменателя производящей функции: [math]Q(t) = (1 - 2t)(1 + 4t^2)[/math]: [math]t_1 = \dfrac{1}{2},\, t_2 = \dfrac{1}{2i},\, t_3 = -\dfrac{1}{2i}[/math], тогда обратные корни: [math]r_1 = 2,\,f_1 = 1;\; r_2 = 2i,\, f_2 = 1;\; r_3 = -2i,\, f_3 = 1[/math]. Все три обратных корня имеют одинаковый модуль [math]z = 2[/math] и кратность [math]f = 1[/math].

Для определения доминирующего коэффициента разложим производящую функцию на простые дроби, например, с помощью метода неопределенных коэффициентов, так мы найдем [math]c_i:[/math]

[math]A(t) = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} - t} + \dfrac{\frac{1 - i}{4}}{t + \frac{1}{2i}} + \dfrac{\frac{1 + i}{4}}{t - \frac{1}{2i}},\; c_1 = \dfrac{1}{4},\, c_2 = \dfrac{1 - i}{4},\, c_3 = \dfrac{1 + i}{4}[/math]

[math]\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{i = 1}^{3} {c_i \cdot r_i^{n}} = n^{1 - 1} \cdot \left(\dfrac{1}{4} \cdot 2^n + \dfrac{1 - i}{4} \cdot (2i)^n + \dfrac{1 + i}{4} \cdot (-2i)^n \right) = 2^{n - 2}\cdot (1 + (1 - i)\cdot i^n + (1 + i) \cdot (-i)^n)[/math].

В этом примере оценка включает в себя все обратные корни с их коэффициентами, поэтому она является представлением коэффициента производящей функции в форме квазимногочлена[2]. Это значит, что вместо знака [math]\sim[/math] можно поставить знак равенства.

См. также

Примечания

Источники информации