Просмотр исходного текста страницы Участник:Unreal.eugene

{{Определение
|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''random walk'') {{---}} случайный процесс, состоящий из последовательности случайных шагов на каком-нибудь множестве. Обычно рассматриваются случайные блуждания на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с началом в нуле и с равновероятными шагами либо на $+1$, либо на $-1$.}}

{{Определение
|definition = Иногда также может рассматриваться просто '''блуждание''' {{---}} комбинаторный объект, который появляется как результат случайного блуждания над целочисленной прямой. Блуждание из $n$ шагов можно однозначно задать последовательностью длины $n$, на $i$-й позиции которой стоит либо $+1$, либо $-1$, то есть битовым вектором. }}

== Примеры ==

Тут когда-нибудь появятся примеры

== Пути Дика ==

Что-то про пути Дика

== Свойства ==

=== Свойства блужданий ===

{{
Теорема | id=1
|statement=
Число различных блужданий длины $n$ равно $2^n$.

|proof=
Для любого блуждания длины $n$ можно взаимно однозначно сопоставить битовый вектор длины $n$. Таким образом, количество различных блужданий длины $n$ равно количеству битовых векторов, а именно <tex>2^n</tex>.
}}

{{
Теорема | id=2
|statement=
Число различных блужданий длины $n$, заканчивающихся в целой координате $x$ (<tex>|x| \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor</tex>), равно <tex>\dbinom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>, если $n$ и $x$ имеют одинаковую четность, и 0 иначе.

|proof=

Чтобы блуждание закончилось в координате $x$, нужно, чтобы количество движений на $+1$ было на $x$ больше (на $-x$ меньше) количества движений на $-1$. Ясно, что это невозможно, если координата $x$ имеет не ту же четность, что и $n$, так как в результате любого блуждания из $n$ шагов координата, в которой мы оказываемся в конце, всегда имеет такую же четность, что и $n$. В случае однаковой четности искомое количество равно количеству битовых векторов длины $n$, в которых ровно <tex>\frac{n + x}{2}</tex> единиц. Понятно, что все такие битовые вектора можно получить следующим способом: выберем <tex>\frac{n + x}{2}</tex> позиций в векторе длины $2n$, на этих позициях расположим значение $1$, а на остальных {{---}} значение $0$. Из построения ясно, что количество таких способов по определению равно числу сочетаний <tex>\dbinom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>.
}}

== Производящие функции ==

{{
Теорема | id=3
|statement=
Пусть $w_i$ {{---}} количество блужданий длины $2n$, которые оканчиваются в нуле. Тогда верна следующая рекуррентная формула:

<tex>w_n = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}</tex>, где $C_i$ {{---}} число Каталана.

|proof=
Доказательство очень похоже на вывод количества путей Дика длины $2n$. 

Рассмотрим позицию последнего пересечения путем блуждания нулевой координаты, не равную $2n$. Пусть эта координата равна $2x$, тогда после этого есть два варианта развития: перемещение либо на $+1$, либо на $-1$. В обоих случаях путь в следующий раз пересечёт нулевую координату только на $2n$-ое пермещение, поэтому при перемещении из координаты $2x$ далее лежит путь Дика длины $2n - 2x - 2$, не заходящий либо левее координаты $1$ (в случае перемещения $+1$), либо правее кординаты $-1$ (в случае перемещения $-1$). Количество путей Дика длины $2n - 2x - 2$ равно $C_{n-x-1}$. Так как в каждом пути существует последняя позиция пересечения нулевой координаты, не равная $2n$, то можно рекурсивно посчитать все блуждания следующим образом:

<tex>w_n = \sum\limits_{x = 0}^{n - 1}{w_x \cdot 2 C_{n-x-1}} = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}</tex>
}}

{{
Теорема | id=4
|statement=
Производящая функция для количества блужданий чётной длины, заканчивающихся в нулевой координате, равна:

<tex>W(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4t}}</tex>

|proof=
Доказательство через производные можно посмотреть [[Производящая_функция#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.B7.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B0.D1.85.D0.BE.D0.B6.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D1.8F.D1.89.D0.B5.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|здесь]]. Далее будет приведено доказательство, использующее реккурентное соотношение из предыдущей теоремы.

Реккурентному соотношению из предыдущей теоремы соответствует равенство соответствующих формальных рядов:

$W(t) = 1 + 2 t W(t) C(t)$, где $C(t)$ {{---}} производящая функция для чисел Каталана. 

Таким образом, можно выразить $W(t)$:

<tex>W(t) = \dfrac{1}{1 - 2 t C(t)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4 t}}</tex>
}}

{{
Теорема | id=5
|statement=
Производящая функция для количества блужданий, заканчивающихся в некоторой положительной координате $n$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна:

<tex>W_n(t) = \dfrac{(1 - \sqrt{1 - 4t^2})^{n+1}}{2^{n+1}t^{n+2}} = t^n C^{n+1}(t^2)</tex>

|proof=Потом.
}}

{{
Теорема | id=6
|statement=
Производящая функция для значений $w_{n,m}$ {{---}} количества блужданий длины $n$, заканчивающихся в некоторой положительной координате $m$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна:

<tex>W(u, v) = \dfrac{C(v^2)}{1 - u v C(v^2)}</tex>

|proof=Потом.
}}