355
правок
Изменения
→Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
=== Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций ===
{{Теорема
|about=Формула Ньютона-Лейбница
|statement=Пусть <tex>f\in R[a,b],\ F</tex> - первообразная <tex>f</tex> на <tex>[a,b]</tex>. Тогда <tex>\int_a^bf=F(b)-F(a)</tex>.
|proof=<tex>\forall n\in\mathbb{N}</tex> положим <tex>x_k={k(b-a)\over n}</tex>. Тогда
<tex>F(b)-F(a)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}(F(x_{k+1})-F(x_k)).</tex>
По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной|теореме Лагранжа]] <tex>\forall k\in[0:n-1]\ \exists\xi_k^{(n)}\in(x_k,x_{k+1}): F(x_{k+1})-F(x_k)=F'(\xi_k^{(n)})\Delta x_k=f(\xi_k^{(n)})\Delta x_k</tex>.
В силу интегрируемости <tex>f</tex>
<tex>\int_a^b=\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k^{(n)})\Delta x_k=\underset{n\to\infty}{\lim}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a).</tex>
}}
=== Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле ===
