Участник:Yulya3102/Матан

Основные вопросы

Список

• Замечание о представимости функции рядом Тейлора
• Дифференцирование разложений Тейлора
• Иррациональность числа e
• Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума
• Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
• Дифференциальный критерий выпуклости
• Неравенство Йенсена
• Неравенство Гельдера
• Неравенство Минковского
• Неравенство Коши
• Теорема о свойствах неопределенного интеграла
• Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
• Лемма о свойствах сумм Дарбу
• Критерий интегрируемости Римана
• Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
• Аддитивность интеграла
• Предел римановых сумм
• Линейность интеграла
• Монотонность интеграла
• Интегрируемость модуля интегрируемой функции
• Интегрируемость произведения
• Интегрируемость частного
• Ослабленный критерий Лебега. Следствие
• Теорема о среднем. Следствия
• Теорема Барроу
• Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
• Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
• Иррациональность числа пи
• Формула Валлиса
• Формула Тейлора с интегральным остатком
• Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
• Неравенства Гельдера и Минковского
• Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
• Теорема о формуле трапеций
• Формула Эйлера - Маклорена
• Формула Стирлинга
• Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
• Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что [math] {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math]. По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда [math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math], [math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math]. По доказанному [math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math]. Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим [math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math]. Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math]. 2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда [math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math]. По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Иррациональность числа е

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности

Критерий монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f возрастает (убывает) на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] в том и только в том случае, когда [math]f'(x) \ge 0 \ (f'(x) \le 0) \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда [math]f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle[/math] , поэтому [math]f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0[/math]. 2. Достаточность. Пусть [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle[/math] . Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2[/math], и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]: [math]f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \ge 0[/math]. Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: критерий постоянства функции

Теорема:

Пусть [math]f: \langle a, b\rangle \to \mathbb{R}[/math]. Тогда f постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math], то по критерию монотонности функции функция [math]f[/math] одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Критерий строгой монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\langle a, b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f строго возрастает на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только в том случае, когда: 1) [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in (a, b)[/math]; 2) [math]f'[/math] не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции. Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание [math]f[/math]. Если возрастание нестрогое, то [math]\exists x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, f(x_1) = f(x_2)[/math]. Тогда [math]f[/math] постоянна на [math][x_1, x_2][/math], что противоречит условию 2).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о трех хордах

Лемма:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math], [math]x_1, x_2, x_3 \in \langle a, b\rangle, x_1 \lt x_2 \lt x_3[/math]. Тогда [math]{f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_1) \over x_3 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_2) \over x_3 - x_2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению выпуклости [math]f(x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_3)[/math], где [math]t={x_3 - x_2 \over x_3 - x_1}, \ 1-t = {x_2 - x_1 \over x_3 - x_1}[/math]. Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны, [math]f(x_2) \le f(x_1)+(1-t)(f(x_3)-f(x_1))=f(x_1)+(x_2-x_1){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x_1}[/math], что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны, [math]f(x_2)\le f(x_3)-t(f(x_3)-f(x_1))=f(x_3)-(x_3-x_2){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x)1}[/math], что равносильно правому неравенству в лемме.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Теорема:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b \rangle[/math]. Тогда для любой точки [math]x \in (a, b) \ \exists[/math] конечные [math]f'_-(x), f'_+(x): f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим [math]g(\xi) = {f(\xi) - f(x) \over \xi - x}, \ \xi \in \langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. По лемме о трех хордах g возрастает на [math]\langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. Поэтому, если [math]a \lt \xi \lt x \lt \eta \lt b[/math], то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть [math]{f(\xi) - f(x) \over \xi - x} \le {f(\eta) - f(x) \over (\eta - x}[/math]. Следовательно, g ограничена на [math]\langle a, x)[/math] сверху, а на [math](x, b\rangle[/math] - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы [math]g(x-)[/math] и [math]g(x+)[/math], которые по определению являются односторонними производными [math]f'_-(x)[/math] и [math]f'_+(x)[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x[/math] слева, а [math]\eta[/math] - справа, получаем, что [math]f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Описание выпуклости с помощью касательных

Теорема:

Пусть функция f дифференцируема на [math]\langle a, b\rangle[/math]. Тогда f выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть [math]\forall x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] [math]f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, [math]x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math]. Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math] [math]{f(\eta) - f(x_0) \over \eta - x_0} \le {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство [math]f'(x_0) \le {f(x) - f(x_0) \over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math] [math]{f(\xi)-f(x_0)\over\xi-x_0}\ge{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство [math]f'(x_0) \ge {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. 2. Достаточность. Пусть [math]\forall x,x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] верно неравенство в теореме. Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, \ x \in (x_1, x_2)[/math]. Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем [math]f(x_1) \ge f(x) + f'(x)(x_1 - x)[/math], [math]f(x_2) \ge f(x) + f'(x)(x_2 - x)[/math], что равносильно [math]{f(x) - f(x_1)\over x-x_1}\le f'(x)\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math]. Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.

[math]\triangleleft[/math]

Дифференциальный критерий выпуклости

Виноградов, том 1, 234

Определения и факты

Список

• Ряды Тейлора основных элементарных функций
• Локальный экстремум
• Точка возрастания функции
• Стационарная точка
• Выпуклая функция
• Выпуклое множество в R^m
• Надграфик и подграфик
• Опорная прямая
• Первообразная
• Таблица первообразных
• Дробление отрезка
• Дробление параллелепипеда
• Что значит, что одно дробление мельче другого
• Сумма Дарбу
• Верхний интеграл Дарбу
• Интегрируемая по Риману функция
• Интеграл функции по параллелепипеду
• Риманова сумма
• Колебание функции на множестве
• Множество объема 0
• Множество меры 0
• Интеграл с переменным верхним пределом
• Кусочно-непрерывная функция
• Почти первообразная
• Несобственный интеграл

Выпуклая функция

Определение:

Функция [math]f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}[/math] называется: выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]; строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2) \lt tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]. Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math]. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Опорная прямая

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle[/math]. Прямая, задаваемая уравнением [math]y = \ell(x)[/math], называется опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math], если [math]\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)[/math]. Если же [math]\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\gt \ell(x)[/math], то прямая называется строго опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math].

Первообразная

Определение:

Пусть [math]f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Функция [math]F[/math] называется первообразной функции [math]f[/math] на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)[/math].