Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Участник:Yulya3102/Матан3сем

17 867 байт убрано, 14:50, 29 января 2015
Полиномиальная формула
== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===
==== Теоремы без доказательств ====
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда|Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда]]
 
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)|Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)]]
 
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображении|Теорема о неявном отображении]] — много писать в замечании =(
 
Асимптотика интеграла <tex>\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty</tex> — много писать =(
 
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов|Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов]] — много писать =(
=== Признак Вейерштрасса ===
из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
 
Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце.
}}
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>
 
* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>
 
* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.
<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_n S_N = \sum_{n + = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел
* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>
Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]
<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>
1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
 
|proof=
Применяя преобразование Абеля
 
<tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex>
 
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex>
 
<tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex>
 
Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем
 
<tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex>
 
Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) :
|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex>
 
Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>.
}}
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>
<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по пр. признаку Абеля ]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>
<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>
* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>
<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>
<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>
<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по пр. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса |признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>
<tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>
<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель ]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>
=== Единственность производной ===
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = + f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||AAx|| \le C_A ||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + bh) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alphak: |\alpha| (k) = r} \frac{r!}{\alphak!} a^{\alphak} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>
<tex> r = 1 </tex>
<tex> \alpha k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>
<tex> r = r + 1 </tex>
<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_m^{\alpha_k_{m}} = </tex>
<tex> = \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}+1} ... a_m^{\alpha_k_{m}} + \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} a_2^{\alpha_2 k_2 + 1} ... a_m^{\alpha_k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_{m-1}^{\alpha_k_{m - 1}} a_m^{\alpha_k_{m } + 1}} = </tex>
<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - \alpha k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;
<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс
<tex> (\alpha_1 k_1 + 1, \alpha_2 k_2 ... \alpha_mk_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1
<tex> \sum_{(\alpha_1k_1...\alpha_mk_m); \alpha_i k_i \ge 0; \alpha_1 k_1 + ... + \alpha_m k_m = r} \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_m^{\alpha_k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>
* Замечание 2
<tex> m = 2; \alpha_1k_1, \alpha_2 k_2 = r - \alpha_1 k_1 </tex>
<tex> \sum_{\alpha_1 k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{\alpha_1k_1!(r - \alpha_1k_1)!} \cdot a_1^{\alpha_1k_1} a_2^{r - \alpha_1k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=
 
<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>
 
<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>
 
Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.
 
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r+ 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>
<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
 
<tex> \mathbb{L}_{m, m} : \ Gh(m) = \{ A \in \mathbb{L}_{m, m} : \exists A^{-1} \} </tex>
}}
Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>
Тогда <tex>B</tex> — обратимообратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>
Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)
<tex> II \Rightarrow I </tex>
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>
<tex> F'(x)e_i = </tex><tex> \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex> <tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)
 
|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Доказательство следует из теоремы Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрассао непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>
(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по т[[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса ]] <tex> \exists min </tex>)
<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>
<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
 
<tex> |p(y) - p(x)| \le p(x - y) = </tex> разложим по базису <tex> p( \sum_{k = 1}^m |y_k - x_k|l_k ) \le </tex>
 
<tex> \le \sum |y_k - x_k|p(l_k) \le </tex> КБШ <tex> \sqrt{ \sum|x_k - y_k|^2 } \sqrt{\sum p(l_k)^2} = |x - y| \sqrt{\sum p(l_k)^2} </tex>
 
<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{\sum p(l_k)^2}} </tex>
 
<tex> \forall y : |x - y| < \delta </tex> верно <tex> |p(x) - p(y)| < \epsilon </tex>
}}
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>
<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '? ' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
 
<tex>F: \forall x \in 0; det(F'(x)) \ne 0 </tex>
}}
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>
<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c); </tex> Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>
<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1) ^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta) </tex>
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>
В точке <tex> x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex> — на сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>.
На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>
<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по т[[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]
<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>
<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимум минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.  Тогда:
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
|proof=
1) <tex> r = 1 </tex> <tex>F(O) = O'''Тут написан бред. Лучше сразу перейти к конспекту, стр. 91'''</tex> — открытое
1) Пусть <tex> r S = F^{-1 }, S : O' \to O</tex>
Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S := F^{-1}; F(OU) = O' </tex> — откроткрытое.; <tex> S : O' \to O </tex>;
* <tex> T : X \to Y; T </tex> — непр. непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall u U \subset Y : T^{-1} (U) </tex> — откроткрыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.
<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>
<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(|x - x_0|) </tex>
<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>
[* <tex> T </tex> — невыр. в диффеоморфизм, матрица <tex> T'(x_0; )</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex>]// По лемме о почти локальной инъективности Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.
Возьмём <tex> c, \delta </tex> — из леммы; Пусть <tex> T := F'(x_0) </tex>
<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>
<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \fracoverbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>
Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>
<tex> | \ \GammaT^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |\GammaT^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| \GammaT^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| \GammaT^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>
<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F^{-1}'(x_0) \ne 0 </tex>
Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима
[так. как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> — откр. открыто и <tex> F^{-1} </tex> — откр. определено на мн-ве открытом множестве и дифф.дифференцируемо по предыдущим теоремам]
<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex>// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.
<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U := B(x_0, r) < 0 \subset O </tex>
<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>
<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>
<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{42}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для диффдифференцируемости.
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифф. дифференцируемо в нуле
=== Теорема о неявном отображении ===
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>
'''Раньше тут был забыт минус!'''2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> |proof= Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>. <tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex> <tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>. <tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex> По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности. Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>. Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>. Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{' } \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению
2) Аддитивность при дроблении пути:
Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.
<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)
<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>
<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>
5) Оценка интеграла:
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le </tex> по КБШ <tex> \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \le int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}
3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбницадля кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]
<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно
<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?
Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)
Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>
<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>
<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем ]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>
<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>
<tex> f'_y </tex> — непр. непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f_yf'_y(x) - f_yf'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная сходимостьнепрерывность
<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | \le = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>
<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклаявыпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>
<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{i j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>
<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>
<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} </tex>
<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} </tex>
Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>
<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие
Можно считать <tex> \forall i \ \exists S_i s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>
<tex> S_1 \subset S_2 s_1 < s_2 ... \subset S_n < s_n </tex>
}}
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопнагомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>
<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная
<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)
<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to 0 O </tex> — равномерно непрерывна.
<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>|proof=  Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \piunderset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{4n}x dx</3tex> Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) 2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}} </tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл. 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n }{2}}x , dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия. 
}}
=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}
=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> непрерывна на <tex> [(a; b] ) </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>непрерывна, что <tex> \forall x int\in [a; limits_a^b] f = M, \ P_nf(xt) \to fsim L(xt - a) </tex>.|proof=<tex> [a^q, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> t \begin{matrix} [to a, b] = [\frac{q > -1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [L > 0, 1] \end{matrix} \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \tilde fvarphi(xa) = - \begin{cases} fvarphi(xt), x \in [a, b] \\ fsim c(t - a)^p, x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} p > 0 </tex> Заметим, что: . Тогда <tex> \int_{a_1}int\limits_a^{b_1} \tilde b f(t)e^{A \varphi(1 - (x - t)^2)^n } dt \sim_underset{n A \to +\infty} \sqrt{\frac{\pisim}e^{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex> <tex> A \varphi (ta) = ln(1 - (x - t)^2); } \ max cdot \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex> <tex> frac{1}{p} \varphi(t) cdot \sim -frac{1}{(x - tcA)^2, t \to x </tex> <tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex> <tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\piq + 1}{np}}} f(x), \ n cdot \to +\infty </tex> <tex> \sqrt{Gamma(\frac{nq + 1}{\pip}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>}}* Замечание <tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>
* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0<// tex> в интеграле <tex> \varphi(u) = int\limits_0^s t^q e^{-(n \ln u) At^p} dt</tex>
// * вводим замену <tex> \varphi' u = At^p, t = -(1 - \frac{1u}{nA}); n ^{1/p}, dt = 1; \varphi'(frac{u) = 0 ^{1/p- (\cdot) max 1}}{pA^{1/p}}</tex>.
* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</ tex> стремится к <tex> \varphi'' = -frac{1}{pA^{\frac{q+1}{n^2p}}}; \ Gamma({\varphi''(frac{q+1}{p}}) = -1 </tex>
<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>}}'''Утверждения:'''
== Определения и факты ===== Равномерно сходящийся ряд ==={{Определение|definition=Последовательность функций <tex> f_1(x1), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_forall{n c\to \infty} f_nin(xa, b) }\ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> forall{\varepsilon > 0 </tex}\ \exists{A_0}\ \forall{A > можно указать число <tex> N = NA_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x int\limits_a^c{fe^{A\in X varphi}}</tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(xследствие из теоремы о локализации) \rightrightarrows f(x) </tex>.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве 2) <tex> X \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.}}
=== Признак Абеля равномерной сходимости ==={{Теорема|statement=Рассмотрим ряд <tex> (1-\varepsilon)\sum a_nfrac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(x\frac{q+1}{p}) b_n\le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(x\frac{q+1}{p}) </tex>(следствие из приема выше. Да, <tex> x \in X </tex>:читается ужасно)
1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>'''Доказательство'''
2) Выбираем окрестность точки <tex> b_n(x) a: [a; a+s]</tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n \varepsilon</tex>такое, что
Тогда <tex> 1-\sum a_nvarepsilon < \frac{f(xt) b_n}{L(xt-a) ^q} </tex> равномерно сходится на <tex> X 1+\varepsilon</tex>.}}
=== Радиус сходимости степенного ряда ===см. [[Участник:Yulya3102<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.tex>
=== Формула Адамара ==={{Определение|definition=Число Для <tex> R </tex> — радиус сходимости.<texA > R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} A_0</tex>}}, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:
=== Комплексная производная ==={{Определение|definition=Пусть <tex> \int\limits_a^b f: (t)e^{A\mathbb{Cvarphi(t)} dt \to le (1+\mathbb{C}, varepsilon)\ z_0 int\in \mathbblimits_a^{Ca+s} </tex>. Тогда <tex> f'L(z_0t-a) = ^q \lim_cdot e^{z A\to z_0varphi(a)} \fraccdot e^{f-A(\varphi(za) - f\varphi(z_0t)}{z - z_0} dt \le</tex>.}}
=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ==={{Определение|definition=<tex> \mathrmle (1+\varepsilon)Le^{exp}A\varphi(za) := }\sum_int\limits_0^s{n=0\tau^q}e^{-Ae^{+ c(1-\infty} varepsilon)\frac{ztau^np}{n!} d\tau</tex>
По утверждению 2 это меньше или равно <tex> \sinfrac{1+\varepsilon}{(z1-\varepsilon) := ^{\mathrmfrac{q+1}{Imp}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \mathrmfrac{exp1}{p(izcA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p}) ]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.
Используя другие части неравенства, находим, что <tex> \cosint\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(z1+\varepsilon) := ^{\mathrmfrac{Req+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \mathrmfrac{exp1}{p(izcA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p}) ]</tex>}}.
=== Отображение, бесконечно малое в точке ==={{Определение|definition=Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>Вроде доказали. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)}}
=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}
=== Дифференцируемое отображение Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (непрерывна на <tex>\operatorname{Int} D[a; b] </tex> — множество внутренних точек . Тогда существует многочлен (внутренностьпоследовательность многочленов?) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}P_n(x), \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)= 1, 2 ... </tex> (, что <tex>\mathcal{L}forall x \in [a; b] \ P_n(Xx) \to Yf(x)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из .|proof=<tex>X[a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> в // Можно считать <tex>Y\begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>), что
<tex>\tilde f(x+h)=\begin{cases} f(x)+Ah+o, x \in [a, b] \\ f(ha), hx \in [a_1, a] \to\mathbbf(b) x \in [b, b_1] \end{Ocases}_n</tex>,
то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' илиЗаметим, короче, '''производной''' отображения что: <tex>\int_{a_1}^{b_1} \tilde f</tex> в точке <tex>(t)(1 - (x</tex> и обозначается <tex>- t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f'(x); \ x \in [a, b] </tex>.}}
=== Производный оператор ==={{Определение|definition=Оператор <tex> A \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке — достигается при <tex> t = x </tex>.}}
=== Дифференциал отображения ==={{Определение|definition=Величина <tex>f'\varphi(t) \sim -(x- t)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>^2, и обозначается <tex>df(t \to x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.}}
=== Матрица Якоби ==={{Определение|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>varphi''(x) = -2, \in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'varphi(x)= 0 </tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.}}
=== Частные производные ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ Q_n(x ) \in sim \operatornamesqrt{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial fpi}{\partial e^kn} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), n \ to +\frac{\partial f}{\partial x_k} (x) infty </tex>.}}
=== Производная по вектору, по направлению ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: D \subset sqrt{\mathbbfrac{Rn}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{Rpi}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{fQ_n (x + th) - \to f(x)}_{tx \in [a_1, b]} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> , \frac{n \partial f}{to +\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h infty </tex>.
}}
* Замечание
=== Градиент ==={{Определение|definition=Пусть <tex>\forall f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>— непр. Если существует такой вектор на <tex>[a, b] \in\mathbb{R}^n\exists f_n(x) </tex>, что — многочлен : <tex>f(x+h)=fP_n(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>rightrightarrows f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке на <tex>x[a, b] </tex>.
Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона'''.}} === Частная производная второго порядка, k-го порядка ==={{Определение|definition=Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.}} === Классы функций $C^k(E)$ ==={{Определение|definition=Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.}} === Мультииндекс и обозначения с ним ==={{Определение|definition=Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.}}Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. === Формула Тейлора (различные виды записи) ===Из теорем: <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex> <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex> <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex> С остатком в интегральной форме: <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex> Формула в дифференциалах: <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex> Формула в координатах: <tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex> === $n$Стирлинга для Гамма-й дифференциал ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда: <tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex> <tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex> <tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex> <tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.}} === Норма линейного оператора ===Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).{{Определение|definition=Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y </tex>.}} === Локальный максимум, минимум, экстремум ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство: <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>; <tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.}} === Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ==={{Определение|definition=Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. <br> 1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. <br> 2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. <br> 3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. <br> 4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.}} === Диффеоморфизм ==={{Определение|definition=Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.}} === Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex> уравнений для функций от |proof=<tex> m \Gamma(x + n 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз. <tex> \beginx^{casesx + 1}f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \int_0^{+\ ... infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\f_ninfty} e^{-x(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_nu - \ln u) = 0} du \end{cases} sim </tex>
// <tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :varphi(u) =\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\\ & ... & \ \\\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}-(u - \end{pmatrix} ln u) </tex>
Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, / <tex> \det varphi' = -(1 - \frac{\partial F1}{\partial yu} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> ; u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to = 1; \mathbb{R}^n, \ \Phivarphi'(au) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u0 - (a) \ (x, \Phi(x)cdot) max </tex> удовлетворяет системе.}}
=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ==={{Определение|definition=<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset varphi'' = -\mathbbfrac{R1}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in Cu^r(\Omega, \mathbb{R2}^m), ; \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phivarphi''(a1) = k -1 </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.}}
=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: \mathbb{R}sim x^{mx +n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R1}e^{m+n-x} \to \mathbbsqrt{R}^n, \ H_frac{2\Phipi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = cdot \mathbbfrac{O}_n\1} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_sqrt{\Phi1} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p cdot 1 </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>
Или в стиле определения обычного экстремума:{{Определение|definition=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> Определения и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.}} === Формулировка достаточного условия относительного экстремума ==={{Утверждение|statement=Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>: 1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.}} === Кусочно-гладкий путь ==={{Определение|definition=Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное <tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая») <tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n факты = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.}} === Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ==={{Определение|definition=<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля <tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex> Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.}} === Потенциальное векторное поле ==={{Определение|definition=Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 Участник: m] <Yulya3102/tex>.}} === Потенциал векторного поля ==={{Определение|definition=<tex> F <Матан3сем/tex> из предыдущего определения — потенциал.}} === Похожие пути ==={{ОпределениеОпределения|definition=Пути <tex> \gammaПеремещено, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение а то из леммы о гусенице. Линия, а -за большого размера страница не грузится на ней пересекающиеся шарики).}} === Локально-потенциальное векторное поле ==={{Определение|definition=<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.}} === Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ==={{Определение|definition=Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.}} === Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ==={{Определение|definition=Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.}} === Односвязная область ==={{Определение|definition=Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; bнекоторых телефонах] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.}}
Анонимный участник

Навигация