Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список

Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Единственность производной

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование ``произведений

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании ``сдвига

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Определения и факты

Список

Равномерно сходящийся ряд

Признак Абеля равномерной сходимости

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Отображение бесконечно малое в точке

$o(h)$ при $h\to 0$

Матрица Якоби

Дифференциал отображения

Частные производные

Производная по вектору, по направлению

Градиент

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Классы функций $C^k(E)$

Мультииндекс и обозначения с ним

Формула Тейлора (различные виды записи)

$n$-й дифференциал

Норма линейного оператора

Локальный максимум, минимум, экстремум

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

Дифференцируемое отображение

//[math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D.

//[math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math].

//[math]\mathbb{O}_n[/math] — ???

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].