Участница:Katyatitkova/Матан — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции)
(Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением)
 
(не показана 41 промежуточная версия 12 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство множеств, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
+
'''Упорядоченная пара''' — двухэлементное семейство, где множеством индексов является <tex dpi=130> \{ 1, 2 \} </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 30: Строка 30:
 
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: <br>
 
'''Разностью''' множеств <tex dpi=130> X </tex> и <tex dpi=130> Y </tex> называется множество всех элементов, которые принадлежат <tex dpi=130> X </tex>, но не принадлежат <tex dpi=130> Y </tex>: <br>
 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
 
<tex dpi=130> X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} </tex>
}}
 
 
{{Теорема
 
|author=Де Моргана
 
|about=законы
 
|statement=
 
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда <br>
 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
 
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex>
 
}}
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда <br>
 
# <tex dpi=130> Y \cap \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \cap X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
 
# <tex dpi=130> Y \cup \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \cup X_{\alpha} \right ) </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 115: Строка 99:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset Y </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 123: Строка 107:
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если <tex dpi=130> f(X) = Y </tex>, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''сюръективным''', или '''сюръекцией''', или '''отображением "на"'''.
 
}}
 
}}
 
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет хотя бы одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.
  
Строка 130: Строка 113:
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если для любых различных элементов <tex dpi=130> X </tex> их образы различны, то отображение <tex dpi=130> f </tex> называется '''инъективным''', или '''инъекцией''', или '''обратимым''' отображением.
 
}}
 
}}
 
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет не более одного решения в <tex dpi=130> X </tex>.
  
Строка 137: Строка 119:
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>. Если отображение <tex dpi=130> f </tex> одновременно инъективно и суръективно, то оно называется '''биективным''', или '''биекцией''', или '''взаимно-однозначным''' отображением (соответствием).
 
}}
 
}}
 
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.
 
Иными словами: <tex dpi=130> f(x) = y </tex> имеет ровно одно решение в <tex dpi=130> X </tex>.
  
 
=== Целая часть числа ===
 
=== Целая часть числа ===
=== Законы де Моргана ===
+
Пусть <math>x \in \mathbb R</math>. Наибольшее целое число, не превосходящее <math>x</math>, называется целой частью <math>x</math> и обозначается <math>[x]</math>.
 +
 
 
=== Векторнозначаная функция ===
 
=== Векторнозначаная функция ===
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 166: Строка 148:
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу <br>
 
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y </tex>, <tex dpi=130> g: Y_0 \ \to \ Z </tex>, <tex dpi=130> f(X) \subset Y_0 </tex>. Отображение <tex dpi=130> h: X \ \to \ Z </tex>, действующее по правилу <br>
 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> <br>
 
<tex dpi=130> h(x) = g(f(x)), \ x \in X </tex> <br>
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> f \circ g </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
+
называется '''композицией''' или '''суперпозицией''' отображений <tex dpi=130> f </tex> и <tex dpi=130> g </tex>, а также '''сложным отображением''' и обозначается <tex dpi=130> g \circ f </tex>. При этом <tex dpi=130> g </tex> называется '''внешним''', а <tex dpi=130> f </tex> — '''внутренним отображением'''.
 
}}
 
}}
  
Строка 222: Строка 204:
 
}}
 
}}
  
=== Окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности в R с чертой ===
+
=== Шар, замкнутый шар, окрестности в R с чертой ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 263: Строка 245:
 
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: <br>
 
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: <br>
 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> <br>
 
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> <br>
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \bar{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) <br>
+
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \overline{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) <br>
 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
 
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
 
}}
 
}}
Строка 301: Строка 283:
 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; <br>
 
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; <br>
 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; <br>
 
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; <br>
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex> <br>
+
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \geqslant f(x_2) </tex> <br>
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
+
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 373: Строка 355:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = F </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: <br>
+
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho_x \right ) </tex>, <tex dpi=130> \left ( Y, \rho_y \right ) </tex> — метрические пространства, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y </tex>, <tex dpi=130> a \in X </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> A \in Y </tex>. Точку <tex dpi=130> A </tex> называют пределом отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и пишут <tex dpi=130> \underset{x \to a}{\lim} f(x) = A </tex>, если выполняется одно из следующих утверждений: <br>
 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. <br>
 
* Определение на <tex dpi=130> \varepsilon </tex>-языке, или по Коши. <br>
 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: <br>
 
Для любого положительного числа <tex dpi=130> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex dpi=130> \delta </tex>, что для всех точек <tex dpi=130> x </tex> множества <tex dpi=130> D </tex>, отличных от <tex dpi=130> a </tex> и удовлетворяющих неравенству <tex dpi=130> \rho_X (x, a) < \delta </tex>, выполняется неравенство <tex dpi=130> \rho_Y (f(x), A) < \varepsilon </tex>: <br>
Строка 438: Строка 420:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) </tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 454: Строка 436:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' </tex> a </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 1 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 463: Строка 445:
 
}}
 
}}
  
=== О большое ===
+
=== О большое и o маленькое, эквивалентные функции или асимптотически равные функции ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 469: Строка 451:
 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
 
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
 
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ g(x), \ x \to x_0 </tex>.
+
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) \sim g(x), \ x \to x_0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
=== О маленькое ===
 
=== Эквивалентные функции ===
 
=== Асимптотически равные функции ===
 
 
=== Асимптотическое разложение ===
 
=== Асимптотическое разложение ===
 
=== Наклонная асимптота графика ===
 
=== Наклонная асимптота графика ===
Строка 486: Строка 465:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел  <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle </tex>. Если существует предел  <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 548: Строка 527:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть <br>
 
Пусть <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} </tex> — последовательность вложенных отрезков, то есть <br>
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. <br>
+
<tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n </tex> для всех <tex dpi=130> n \in \mathbb{N} </tex>. <br>
 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть <br>
 
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть <br>
 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
 
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
 +
}}
 +
 +
=== Законы де Моргана ===
 +
{{Теорема
 +
|author=Де Моргана
 +
|about=законы
 +
|statement=
 +
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда <br>
 +
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
 +
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
 +
# <tex dpi=130> Y \ \cap \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \cap \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
 +
# <tex dpi=130> Y \ \cup \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \cup \ X_{\alpha} \right ) </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 578: Строка 569:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A ~ B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
+
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A </tex>~<tex dpi=130> B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 690: Строка 681:
 
|about=неравенство
 
|about=неравенство
 
|statement=
 
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( x, y, \right ) \right | ^2 \leqslant \left ( x, x \right ) \left ( y, y \right ) </tex>
+
<tex dpi=130> \left | \left < x, y \right > \right | ^2 \leqslant \left < x, x \right > \left < y, y \right > </tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = sqrt{\left ( x, x \right )} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
+
Функция <tex dpi=130> p(x) = \sqrt{\left < x, x \right >} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 741: Строка 732:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n <tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
+
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n </tex> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 762: Строка 753:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D <tex dpi=130>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. <br>
+
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset \mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup E </tex>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. <br>
 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то <br>
 
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то <br>
 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> <br>
 
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> <br>
Строка 830: Строка 821:
 
|about=предельный переход в неравенстве для функици
 
|about=предельный переход в неравенстве для функици
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 836: Строка 827:
 
|about=о сжатой функции
 
|about=о сжатой функции
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash {a}, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex> </tex>.
+
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 1014: Строка 1005:
 
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> <br>
 
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> <br>
 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> <br>
 
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> <br>
<tex dpi=130> показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> \left ( 0, + \infty \right ) </tex>
+
              показательная функция — биекция между <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> и <tex dpi=130> (0, + \infty) </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 1044: Строка 1035:
 
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
 
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \tilde{f}(x), g(x) ~ \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
+
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \sim \tilde{f}(x), g(x) \sim \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
 
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> <br>
 
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> <br>
 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
 
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>

Текущая версия на 01:16, 30 октября 2017

Содержание

Определения[править]

Упорядоченная пара[править]

Определение:
Упорядоченная пара — двухэлементное семейство, где множеством индексов является [math] \{ 1, 2 \} [/math].


Декартово произведение[править]

Определение:
Декартовым или прямым произведением множеств [math] X [/math] и [math] Y [/math] называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит [math] X [/math], а второй — [math] Y [/math]:
[math] X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} [/math]


Операции над множествами[править]

Определение:
Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств. Объединением семейства [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств [math] X_{\alpha} [/math]:
[math] \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} [/math]


Определение:
Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств. Пересечением семейства [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств [math] X_{\alpha} [/math]:
[math] \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} [/math]


Определение:
Разностью множеств [math] X [/math] и [math] Y [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат [math] X [/math], но не принадлежат [math] Y [/math]:
[math] X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} [/math]


Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем[править]

Определение:
Множество [math] \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} [/math] называется расширенной числовой прямой.
  • [math] - \infty \lt + \infty [/math]
  • [math] + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty [/math]
  • [math] + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty [/math]
  • [math] - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty [/math]

Для [math] \forall x \in \mathbb{R} [/math]:

  • [math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math]
  • [math] x + x = 2x [/math]
  • [math] x + \infty = + \infty [/math]
  • [math] x - \infty = - \infty [/math]
  • [math] + \infty + \infty = + \infty [/math]
  • [math] + \infty - \infty = \ :( [/math]
  • [math] - \infty - \infty = - \infty [/math]

Для [math] \forall x \gt 0, x \in \mathbb{R} [/math]:

  • [math] x \cdot x = x^2 [/math]
  • [math] x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty [/math]
  • [math] x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty [/math]

Подмножество в R, ограниченное сверху[править]

Определение:
Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным сверху, если существует такое число [math] M \in \mathbb{R} [/math], что [math] x \leqslant M [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Число [math] M [/math] называется верхней границей множества.


Определение:
Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным снизу, если существует такое число [math] m \in \mathbb{R} [/math], что [math] x \geqslant m [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Число [math] m [/math] называется нижней границей множества.


Определение:
Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу.


Максимальный элемент множества[править]

Определение:
Число [math] M [/math] называется максимумом или наибольшим элементом множества [math] E \subset \mathbb{R} [/math], если [math] M \in E [/math] и [math] x \leqslant M [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Обозначается [math] \max E [/math].


Определение:
Число [math] m [/math] называется минимумом или наименьшим элементом множества [math] E \subset \mathbb{R} [/math], если [math] m \in E [/math] и [math] x \geqslant m [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Обозначается [math] \min E [/math].


Последовательность[править]

Определение:
Отображение множества натуральных чисел [math] \mathbb{N} [/math] в множество [math] Y [/math] называется последовательностью в [math] Y [/math] Обозначается как [math] \{ x_n \} [/math].


Образ и прообраз множества при отображении[править]

Определение:
Пусть [math] f: X \to Y, \ A \subset X [/math]. Множество [math] f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} [/math] называется образом множества [math] A [/math] при отображении [math] f [/math].


Определение:
Пусть [math] f: X \to Y, \ B \subset Y [/math]. Множество [math] f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} [/math] называется прообразом множества [math] B [/math] при отображении [math] f [/math].


Инъекция, сюръекция, биекция[править]

Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если [math] f(X) = Y [/math], то отображение [math] f [/math] называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением "на".

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет хотя бы одно решение в [math] X [/math].


Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если для любых различных элементов [math] X [/math] их образы различны, то отображение [math] f [/math] называется инъективным, или инъекцией, или обратимым отображением.

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет не более одного решения в [math] X [/math].


Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если отображение [math] f [/math] одновременно инъективно и суръективно, то оно называется биективным, или биекцией, или взаимно-однозначным отображением (соответствием).

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет ровно одно решение в [math] X [/math].

Целая часть числа[править]

Пусть [math]x \in \mathbb R[/math]. Наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math], называется целой частью [math]x[/math] и обозначается [math][x][/math].

Векторнозначаная функция[править]

Определение:
Векторозначная функция (вектор-функция) — отображение [math] f [/math] из [math] X [/math] в [math] \mathbb{R} ^m [/math] или [math] \mathbb{C} ^m [/math].


Координатная функция[править]

Определение:
Отображение [math] f_k [/math] из [math] X [/math] в [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math], которое каждому элементу [math] x [/math] сопоставляет число [math] f_k (x) [/math], называют k-ой координатной функцией отображения [math] f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) [/math] и пишут [math] f = (f_1, ..., f_m) [/math].


График отображения[править]

Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Графиком отображения [math] f [/math] называется множество
[math] \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} [/math]


Композиция отображений[править]

Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math], [math] g: Y_0 \ \to \ Z [/math], [math] f(X) \subset Y_0 [/math]. Отображение [math] h: X \ \to \ Z [/math], действующее по правилу

[math] h(x) = g(f(x)), \ x \in X [/math]

называется композицией или суперпозицией отображений [math] f [/math] и [math] g [/math], а также сложным отображением и обозначается [math] g \circ f [/math]. При этом [math] g [/math] называется внешним, а [math] f [/math]внутренним отображением.


Сужение и продолжение отображений[править]

Определение:
Пусть [math] f: X \to Y [/math], [math] X_0 \subset X [/math]. Отображение, которое каждому [math] x \in X_0 [/math] сопоставляет [math] f(x) [/math], называется сужением отображения [math] f [/math] на множество [math] X_0 [/math] и обозначается [math] f | _{X_0} [/math]. Если отображение [math] g [/math] есть сужение отображения [math] f [/math], то [math] f [/math] называется продолжением, распространением или расширением [math] g [/math].


Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)[править]

Определение:
Пусть [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность вещественных чисел. Число [math] a \in \mathbb{R} [/math] называют пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math] и пишут

[math] \lim_{n \to \infty}x_n [/math]
, если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой положительный номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math], больших [math] N [/math], выполняется равенство [math] \left | x_n - a \right | \lt \varepsilon [/math]:

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n \gt N \ \left | x_n - a \right | \lt \varepsilon [/math]


Определение:
Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность в [math] X [/math]. Точку [math] a \in X [/math] называют пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math] и пишут

[math] \lim_{n \to \infty}x_n [/math],
если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math], больших [math] N [/math], выполняется равенство [math] \rho(x_n, a) \lt \varepsilon [/math]:

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n \gt N \ \rho(x_n, a) \lt \varepsilon [/math]


Предел последовательности (определение на языке окрестностей)[править]

Определение:
Интервал [math] \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) [/math] называется [math] \varepsilon [/math]-окрестностью точки [math] a [/math] и обозначается [math] V_{\alpha} (\varepsilon) [/math] или [math] V_{\alpha} [/math], если значение [math] \varepsilon [/math] несущественно.


Определение:
Число [math] a [/math] называется пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math], если для любой окрестности точки [math] a [/math] все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.


Метрика, метрическое пространство, подпространство[править]

Определение:
Функция [math] \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} [/math] называется метрикой или расстоянием в множестве [math] X [/math], если она удовлетворяет следующим условиям:
  1. [math] \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X [/math]
  3. [math] \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X [/math]


Определение:
Пара [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — множество с метрикой в нём — называется метрическим пространством.


Определение:
Пусть [math] Y \subset X [/math], [math] \rho [/math] — метрика в [math] X [/math]. Метрическое пространство [math] \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) [/math] называется подпространством метрического пространства [math] \left ( X, \rho \right ) [/math].


Шар, замкнутый шар, окрестности в R с чертой[править]

Определение:
Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] a \in X [/math], [math] r \gt 0 [/math]. Множество

[math] B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \lt r \} [/math]
называется открытым шаром радиуса [math] r [/math] с центром в точке [math] a [/math], или окрестностью ([math] r [/math]-окрестностью) точки [math] a [/math] и обозначается ещё [math] V_{a}(r) [/math] или [math] V_a [/math], если значение [math] r [/math] несущественно. Множество
[math] \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} [/math]
называется замкнутым шаром, а множество
[math] S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} [/math]

сферой радиуса [math] r [/math] с центром в точке [math] a [/math].


Векторное пространство[править]

Определение:
Пусть [math] K [/math] — поле, [math] X [/math] — множество, и над элементами [math] X [/math] и [math] K [/math] определены две операции: сложение [math] X \times X \overset{+}{\to} X [/math] и умножение [math] K \times X \overset{\cdot}{\to} X [/math], удовлетворяющие следующим условиям:
  1. [math] (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X [/math]
  2. [math] x + y = y + x, \ x, y \in X [/math]
  3. [math] \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta [/math]
  4. [math] ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K [/math]
  5. [math] \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K [/math]
  6. [math] (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K [/math]
  7. [math] 1 \cdot x = x, \ x \in X [/math]
Тогда [math] X [/math] называется векторным пространством или линейным множеством над полем [math] K [/math]


Норма[править]

Определение:
Пусть [math] X [/math] — векторное пространство над [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math]. Нормой в [math] X [/math] называется функция [math] p: X \to \mathbb{R}_{+} [/math], удовлетворяющая следующим условиям:
  1. Положительная определённость: [math] p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta [/math]
  2. Положительная однородность: [math] p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) [/math]
  3. Неравенство треугольника (полуаддитивность): [math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) [/math].
Обозначается как [math] p(x) = \left \Vert x \right \Vert [/math]. Пара [math] \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) [/math] называется нормированным пространством. Если функция [math] p: X \to \mathbb{R}_{+} [/math] удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то [math] p [/math] называется полунормой.


Скалярное произведение[править]

Определение:
Пусть [math] X [/math] — векторное пространство над [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math]. Функция [math] \varphi: X \times X \to \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math] называется скалярным произведением в [math] X [/math] (обозначение: [math] \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) [/math], если она удовлетворяет следующим свойствам:
  1. Линейность по первому аргументу: для всех [math] x_1, x_2, y \in X [/math] и всех [math] \lambda, \mu \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]) [math] \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) [/math]
  2. Эрмитовская симметричность: [math] \left ( y, x \right ) = \overline{\left ( x, y \right )} [/math] (в вещественном случае черту можно опустить)
  3. Положительная определённость: [math] \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta [/math]


Свойства скалярного произведения:

  1. [math] \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) [/math]
  2. [math] \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) [/math]
  3. [math] \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 [/math]

Последовательность, сходящаяся к бесконечности[править]

Определение:
Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой.


Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум[править]

Определение:
Пусть [math] E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing [/math], [math] E [/math] ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества [math] E [/math] называется точной верхней границей, или верхней гранью, или супремумом множества [math] E [/math] и обозначается [math] \sup E [/math].


Определение:
Пусть [math] E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing [/math], [math] E [/math] ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества [math] E [/math] называется точной нижней границей, или нижней гранью, или инфимумом множества [math] E [/math] и обозначается [math] \inf E [/math].


Функция ограниченная сверху, снизу[править]

Определение:
Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве [math] D [/math], если множество [math] f(D) [/math] ограничено (сверху, снизу).


Строго и не строго монотонная функция[править]

Определение:
Пусть [math] D \subset X \subset \mathbb{R} [/math]. Функция [math] f: X \to \mathbb{R} [/math] называется:

возрастающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \leqslant f(x_2) [/math];
строго возрастающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \lt f(x_2) [/math];
убывающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \geqslant f(x_2) [/math]

строго убывающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \gt f(x_2) [/math].


Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность[править]

Определение:
Точка [math] a [/math] называется внутренней точкой множества [math] D [/math], если существует окрестность точки [math] a [/math], содержащаяся в [math] D [/math].


Определение:
Множество [math] D [/math] называется открытым, если все его точки внутренние.


Определение:
Множество всех внутренних точек множества [math] D [/math] называется внутренностью [math] D [/math] и обозначается [math] \overset{\circ}{D} [/math] или [math] Int D [/math].


Предельная точка множества[править]

Определение:
Точка [math] a [/math] называется предельной точкой или точкой сгущения множества [math] D [/math], если в любой окрестности точки [math] a [/math] найдётся точка множества [math] D [/math], отличная от [math] a [/math].


Замкнутое множество, замыкание, граница[править]

Определение:
Если точка [math] a [/math] принадлежит множеству [math] D [/math], но не является его предельной точкой, то [math] a [/math] называется изолированной точкой множества [math] D [/math].


Определение:
Множество [math] D [/math] называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.


Определение:
Точка [math] a [/math] называется точкой прикосновения множества [math] D [/math], если в любой окрестности точки [math] a [/math] найдётся точка множества [math] D [/math].


Определение:
Множество всех точек прикосновения множества [math] D [/math] называется замыканием [math] D [/math] и обозначается [math] \bar{D} [/math] или [math] Cl D [/math].


Определение:
Точка [math] a [/math] называется граничной точкой множества [math] D [/math], если в любой окрестности [math] a [/math] найдётся как точка, принадлежащая [math] D [/math], так и точка, не принадлежащая [math] D [/math]. Множество всех граничных точек множества [math] D [/math] называется границей [math] D [/math] и обозначается [math] Fr D [/math].


Верхний и нижний пределы[править]

Определение:
Пусть последовательность [math] \{ x_n \} [/math] ограничена сверху. Величина [math] \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k [/math] называется верхним пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math].


Определение:
Пусть последовательность [math] \{ x_n \} [/math] ограничена снизу. Величина [math] \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k [/math] называется нижним пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math].


Частичный предел[править]

Определение:
Точка [math] a [/math] называется частичным пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math], если существует подпоследовательность [math] \{ x_{n_k} \} [/math], стремящаяся к [math] a [/math].


Определения предела отображения (3 шт)[править]

Определение:
Пусть [math] \left ( X, \rho_x \right ) [/math], [math] \left ( Y, \rho_y \right ) [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a \in X [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A \in Y [/math]. Точку [math] A [/math] называют пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и пишут [math] \underset{x \to a}{\lim} f(x) = A [/math], если выполняется одно из следующих утверждений:
  • Определение на [math] \varepsilon [/math]-языке, или по Коши.

Для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] x [/math] множества [math] D [/math], отличных от [math] a [/math] и удовлетворяющих неравенству [math] \rho_X (x, a) \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y (f(x), A) \lt \varepsilon [/math]:
[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) \lt \delta \ \rho_Y (f(x), A) \lt \varepsilon [/math].

  • Определение на языке окрестностей.

Для любой окрестности [math] V_A [/math] точки [math] A [/math] существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что образ пересечения проколотой окрестности [math] V_a [/math] с множеством [math] D [/math] при отображении [math] f [/math] содержится в окрестности [math] V_A [/math]:
[math] \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A [/math].

  • Определение на языке последовательностей, или по Гейне.

Для любой последовательности [math] \{ x_n \} [/math] точек множества [math] D [/math], отличных от [math] a [/math], стремящейся к [math] a [/math], последовательность [math] \{ f(x_{n}) \} [/math] стремится к [math] A [/math]:

[math] \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A [/math].


Предел по множеству[править]

Определение:
Пусть [math] f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D_1 [/math]. Предел [math] \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) [/math] называется пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_1 [/math].


Односторонние пределы[править]

Определение:
Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} [/math].
  1. Если [math] a [/math] — предельная точка множества [math] D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) [/math], то предел отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_1 [/math] называется левосторонним пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и обозначается [math] \underset{x \to a-}{\lim} f(x) [/math] или [math] f(a-) [/math].
  2. Если [math] a [/math] — предельная точка множества [math] D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) [/math], то предел отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_2 [/math] называется правосторонним пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и обозначается [math] \underset{x \to a+}{\lim} f(x) [/math] или [math] f(a+) [/math].


Компактное множество[править]

Определение:
Семейство множеств [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] называется покрытием множества [math] K [/math], если [math] K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} [/math].


Определение:
Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] K \in X [/math]. Покрытие [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] множества [math] K [/math] называется компактным, если из любого открытого покрытия [math] K [/math] можно извлечь конечное подпокрытие


Фундаментальная последовательность[править]

Определение:
Пусть [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность в метрическом пространстве [math] X [/math]. Говорят, что последовательность [math] \{ x_n \} [/math] сходится в себе, если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math] и [math] l [/math], больших [math] N [/math], выполняется неравенство [math] \rho (x_n, x_l) \lt \varepsilon [/math]:

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \ \forall n, l \gt N \ \rho (x_n, x_l) \lt \varepsilon [/math]

Сходящуюся в себе последовательность также называют последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью.


Полное метрическое пространство[править]

Определение:
Пространство [math] \mathbb{R}^m [/math] полно [math] \Longleftrightarrow [/math] в [math] \mathbb{R}^m [/math] любая сходящаяся в себе последовательность сходится.


Непрерывное отображение[править]

Определение:
Пусть [math] \left ( X, \rho_X \right ) [/math] и [math] \left ( Y, \rho_Y \right ) [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D [/math]. Отображение [math] f [/math] называется непрерывным в точке [math] x_0 [/math], если выполняется одно из следующих утверждений:
  1. Предел отображения [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math] существует и равен [math] f(x_0 ) [/math]. Это определение применимо, если [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math].
  2. По Коши: для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] x [/math] множества [math] D [/math], удовлетворяющих неравенству [math] \rho_X (x, x_0) \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y (f(x), f(x_0)) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) \lt \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) \lt \varepsilon [/math].
  3. На языке окрестностей: для любой окрестности [math] V_{f(x_0)} [/math] точки [math] f(x_0) [/math] существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что образ пересечения окрестности [math] V_{x_0} [/math] с множеством [math] D [/math] содержится в окрестности [math] V_{f(x_0)} [/math]: [math] \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} [/math].
  4. По Гейне: для любой последовательности [math] \left \{ x_n \right \} [/math] точек множества [math] D [/math], стремящейся к [math] x_0 [/math], последовательность [math] \left \{ f(x_n) \right \} [/math] стремится к [math] f(x_0) [/math]: [math] \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) [/math].
  5. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: [math] \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y [/math].


Непрерывность слева[править]

Определение:
Пусть [math] Y [/math] — метрическое пространство, [math] f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ x_0 \in D [/math]. Если сужение отображения [math] f [/math] на множество [math] E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] [/math] ([math] E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )[/math] непрерывно в точке [math] x_0 [/math], то говорят, что отображение [math] f [/math] непрерывно слева (справа) в точке [math] x_0 [/math].


Функция равномерно непрерывная на множестве[править]

Определение:
Функция [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/math] называется равномерно непрерывной на множестве [math] D [/math], если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] \bar{x}, \bar{\bar{x}} [/math] множества [math] D [/math], удовлетворяющих неравенству [math] \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | \lt \varepsilon [/math]:
[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | \lt \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | \lt \varepsilon [/math].


Степенная функция[править]

[math] e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} [/math]

Показательная функция[править]

Определение:
Пусть [math] a \gt 0, x \in \mathbb{R} [/math]. Положим [math] a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} [/math]. При [math] a \gt 0, \ a \neq 1 [/math] функция [math] a^x, \ x \in {\mathbb{R}} [/math] называется показательной функцией с основанием [math] a [/math].


Логарифм[править]

Определение:
Пусть [math] a \gt 0, a \neq 1 [/math]. Функция, обратная к показательной с основанием [math] a [/math], называется логарифмом по основанию [math] a [/math].


О большое и o маленькое, эквивалентные функции или асимптотически равные функции[править]

Определение:
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math]. Если существует функция [math] \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math] и окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], такие, что [math] f(x) = \varphi (x) g(x) [/math] для всех [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] и
  1. [math] \varphi [/math] ограничена на [math] V_{x_0} \cap D [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] ограничена по сравнению с [math] g [/math] при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 [/math];
  2. [math] \varphi (x) \to 0 [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] бесконечно малая по сравнению с [math] g [/math] при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 [/math];
  3. [math] \varphi (x) \to 1 [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] эквивалентны или асимптотически равны при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) \sim g(x), \ x \to x_0 [/math].


Асимптотическое разложение[править]

Наклонная асимптота графика[править]

Определение:
Пусть [math] \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} [/math]. Прямая [math] y = \alpha x + \beta [/math] называется наклонной асимптотой функции [math] f [/math] при [math] x \to + \infty [/math], если
[math] f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty [/math].


Функция, дифференцируемая в точке[править]

Определение:
Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle [/math]. Если существует такое число [math] A \in \mathbb{R} [/math], что [math] f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 [/math], то функция [math] f [/math] называется дифференцируемой в точке [math] x_0 [/math]. При этом число [math] A [/math] называется производной функции [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math].


Определение:
Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle [/math]. Если существует предел [math] \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math], равный числу [math] A \in \mathbb{R} [/math], то функция [math] f [/math] называется дифференцируемой в точке [math] x_0 [/math]. При этом число [math] A [/math] называется производной функции [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math].


Производная[править]

Определение:
Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/math], [math] D_1 [/math] — множество дифференцируемости [math] f [/math] (множество всех точек [math] D [/math], где функция дифференцируема). Функция [math] f': D_1 \to \mathbb{R} [/math], которая каждому [math] x \in D_1 [/math] сопоставляет число [math] f'(x) [/math], называется производной функцией функции [math] f [/math].


[math] f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Левостороняя и правосторонняя производные[править]

Правосторонняя: [math] f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Левосторонняя: [math] f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Производная n-го порядка[править]

Многочлен Тейлора n-го порядка[править]

Теоремы[править]

Аксиомы вещественных чисел[править]

I. Аксиомы поля

В множестве [math] \mathbb{R} [/math] определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из [math] \mathbb{R} \times \mathbb{R} [/math] в [math] \mathbb{R} [/math] и удовлетворяющие следующим свойствам:

  1. Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: [math] (x + y) + z = x + (y + z) [/math]
  2. Переместительный закон (коммутативность) сложения: [math] x + y = y + x [/math]
  3. Существует вещественное число нуль ([math] 0 [/math], нейтральный элемент по сложению) такое, что [math] x + 0 = x [/math] для всех [math] x [/math]
  4. Для любого числа [math] x [/math] существует такое число [math] \tilde{x} [/math], что [math] x + \tilde{x} = 0 [/math] (это число [math] \tilde{x} [/math] называется противоположным числу [math] x [/math] и обозначается [math] -x [/math])
  5. Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: [math] (xy)z = x(yz) [/math]
  6. Переместительный закон (коммутативность) умножения: [math] xy = yx [/math]
  7. Существует вещественное число единица ([math] 1 [/math], нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что [math] x \cdot 1 = x [/math] для всех [math] x [/math]
  8. Для любого числа [math] x [/math] существует такое число [math] x' [/math], что [math] x \cdot x' = 1 [/math] (это число [math] x' [/math] называется обратным числу [math] x [/math] и обозначается [math] x^{-1} [/math] или [math] {1 \over x}) [/math]
  9. Распределительный закон (дистрибутивность): [math] x(y + z) = xy + xz [/math]

II. Аксиомы порядка

Между элементами [math] \mathbb{R} [/math] определено отношение [math] \leqslant [/math] со следующими свойствами:

  1. Для любых [math] x, y [/math] верно [math] x \leqslant y [/math] или [math] y \leqslant x [/math]
  2. Транзитивность: если [math] x \leqslant y [/math] и [math] y \leqslant z [/math], то [math] x \leqslant z [/math]
  3. Если [math] x \leqslant y [/math] и [math] y \leqslant x [/math], то [math] x = y [/math]
  4. Если [math] x \leqslant y [/math], то [math] x + z \leqslant y + z [/math] для любого [math] z [/math]
  5. Если [math] 0 \leqslant x [/math] и [math] 0 \leqslant y [/math], то [math] 0 \leqslant xy [/math]

III. Аксиома Архимеда

Утверждение:
Каковы бы ни были положительные числа [math] x, y \in \mathbb{R} [/math], существует натуральное число [math] n [/math] такое, что [math] nx \gt y [/math]

IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках

Утверждение:
Пусть [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность вложенных отрезков, то есть

[math] a_n \leqslant a_{n+1} \lt b_{n+1} \leqslant b_n [/math] для всех [math] n \in \mathbb{N} [/math].
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам [math] \left [ a_n, b_n \right ] [/math], то есть

[math] \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing [/math]

Законы де Моргана[править]

Теорема (Де Моргана, законы):
Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств, [math] Y [/math] — множество. Тогда
  1. [math] Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) [/math]
  2. [math] Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) [/math]
  3. [math] Y \ \cap \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \cap \ X_{\alpha} \right ) [/math]
  4. [math] Y \ \cup \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \cup \ X_{\alpha} \right ) [/math]

Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли[править]

Утверждение:
Пусть [math] \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность утверждений. Если [math] \mathcal{P}_1 [/math] верно и для любого [math] n \in \mathbb{N} [/math] из [math] \mathcal{P}_n [/math] следует [math] \mathcal{P}_{n + 1} [/math], то [math] \mathcal{P}_n [/math] верно для всех [math] n \in \mathbb{N} [/math].
Теорема (Бенулли, неравенство):
light: [math] \forall x \gt -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx [/math]
hard: [math] \forall x \gt 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 [/math]

Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R[править]

Теорема (плотность множества рациональных чисел):
Во всяком интервале есть рациональное число.

Аксиома Кантора. Десятичная запись числа[править]

Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел[править]

Определение:
Множества [math] A [/math] и [math] B [/math] называют эквивалентными или равномощными и пишут [math] A [/math]~[math] B [/math], если существует биекция [math] \phi: A \to B [/math].


Определение:
Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.


Теорема:
Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
Теорема:
Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.


Определение:
Пустое, конечное или счётное множество называется не более чем счётным.


Теорема:
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.
Теорема (счётность множества рациональных чисел):
Множество рациональных чисел счётно.

Несчетность отрезка[править]

Теорема (несчётность отрезка):
Отрезок [math] \left [ 0, 1 \right ] [/math] несчётен.


Определение:
Если множество эквивалентно отрезку [math] \left [ 0, 1 \right ] [/math], то говорят, что оно имеет мощность континуума.


Несчетность множества бинарных последовательностей[править]

Несчетность R^2[править]

Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности[править]

Теорема (единственность предела):
Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если [math] x_n \to a [/math], а [math] x_n \to b [/math], то [math] a = b [/math].


Определение:
Подмножество [math] D [/math] метрического пространства [math] X [/math] называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре:
[math] \exists a \in X, R \gt 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) [/math].


Теорема (ограниченность сходящейся последовательности):
Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема о сжатой последовательности[править]

Теорема (о сжатой последовательности):
Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] и [math] \{ z_n \} [/math] — вещественные последовательности, [math] x_n \leqslant y_n \leqslant z_n [/math] при всех [math] n \in \mathbb{N} [/math], [math] a \in \mathbb{R} [/math], [math] \lim x_n = \lim z_n = a [/math]. Тогда предел [math] \{ y_n \} [/math] существует и равен [math] a [/math].

Бесконечно малая последовательность[править]

Определение:
Последовательность вещественных или комплексных чисел называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.


Лемма:
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если [math] \{ x_n \} [/math] — бесконечно малая, а [math] \{ y_n \} [/math] — ограниченная, то [math] \{ x_{n} y_n \} [/math] — бесконечно малая.

Теорема об арифметических свойствах предела[править]

Теорема (арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве):
Пусть [math] \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) [/math] — нормированное пространство, [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — последовательности в [math] X [/math], [math] \{ \lambda_n \} [/math] — числовая последовательность, [math] x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]), [math] x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 [/math]. Тогда
  1. [math] x_n + y_n \to x_0 + y_0 [/math]
  2. [math] \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 [/math]
  3. [math] x_n - y_n \to x_0 - y_0 [/math]
  4. [math] \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert [/math]
Теорема (арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями):
Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — числовые последовательности, [math] x_0, y_0 \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]), [math] x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 [/math]. Тогда
  1. [math] x_n + y_n \to x_0 + y_0 [/math]
  2. [math] x_n y_n \to x_0 y_0 [/math]
  3. [math] x_n - y_n \to x_0 - y_0 [/math]
  4. [math] \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | [/math]
  5. Если, кроме того, [math] y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math] и [math] y_0 \neq 0 [/math], то [math] {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} [/math]

Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением[править]

Теорема (Коши-Буняковского-Шварца, неравенство):
[math] \left | \left \lt x, y \right \gt \right | ^2 \leqslant \left \lt x, x \right \gt \left \lt y, y \right \gt [/math]
Теорема:
Функция [math] p(x) = \sqrt{\left \lt x, x \right \gt } [/math] — норма в [math] X [/math].
Теорема (Коши-Буняковского, неравенство):
[math] \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) [/math]

Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n[править]

Определение:
Говорят, что последовательность [math] \{ x^{(n)} \} [/math] точек в [math] \mathbb{R}^m [/math] сходится к пределу [math] x^{(0)} \in \mathbb{R}^m [/math] поокординатно, если [math] x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} [/math] для всех [math] j \in [1 : m] [/math].


Лемма:
В [math] \mathbb{R}^m [/math] покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.

Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности[править]

Теорема (арифметические действия с бесконечно большими):
Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — числовые последовательности.
  1. Если [math] x_n \to + \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена снизу, то [math] x_n + y_n \to + \infty [/math].
  2. Если [math] x_n \to - \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена сверху, то [math] x_n + y_n \to - \infty [/math].
  3. Если [math] x_n \to \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена, то [math] x_n + y_n \to \infty [/math].
  4. Если [math] x_n \to \pm \infty [/math], [math] y_n \geqslant b \gt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \gt 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \pm \infty [/math].
  5. Если [math] x_n \to \pm \infty [/math], [math] y_n \leqslant b \lt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \lt 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \mp \infty [/math].
  6. Если [math] x_n \to \infty [/math], [math] \left | y_n \right | \geqslant b \gt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \neq 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \infty [/math].
  7. Если [math] x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to \infty [/math].
  8. Если [math] x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to 0 [/math].
  9. Если [math] x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to \infty [/math].

Неопределённости:

  • [math] x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? [/math]
  • [math] x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? [/math]
  • [math] x_n \to 0, \ y_n \to 0 [/math], [math] {{x_n} \over {y_n}} \to ? [/math]
  • [math] x_n \to \infty, \ y_n \to \infty [/math], [math] {{x_n} \over {y_n}} \to ? [/math]

Теорема о стягивающихся отрезках[править]

Определение:
Говорят, что [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} [/math] — последовательность стягивающихся отрезков, если [math] a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n [/math] при всех [math] n [/math] и [math] b_n - a_n \to 0 [/math].


Теорема (о стягивающихся отрезках):
Пусть [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} [/math] — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков [math] \left [ a_n, b_n \right ] [/math] состоит из одной точки, то есть

[math] \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} [/math],

при этом [math] a_n \to c [/math] и [math] b_n \to c [/math].

Теорема о существовании супремума[править]

Теорема (о существовании супремума):
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество [math] \mathbb{R} [/math] имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Лемма о свойствах супремума[править]

Утверждение:
Если [math] D \subset E \subset \mathbb{R}, \ D \neq \varnothing [/math], то [math] \sup D \leqslant \sup E [/math], а [math] \inf D \geqslant \inf E [/math].

Если [math] E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} [/math], [math] \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} [/math], то

  • [math] \sup (E + F) = \sup E + \sup F [/math]
  • [math] \sup (tE) = t \sup E [/math]
  • [math] \sup (-E) = - \inf E [/math]
  • [math] \inf (E + F) = \inf E + \inf F [/math]
  • [math] \inf (tE) = t \inf E [/math]
  • [math] \inf (-E) = - \sup E [/math]

Теорема о пределе монотонной последовательности[править]

Теорема (о пределе монотонной последовательности):
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится.

Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.

Определение числа e, соответствующий замечательный предел[править]

Определение:
Предел последовательности [math] \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} [/math] называют числом Непера или основанием натуральных логарифмов и обозначают буквой [math] e [/math].


Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества[править]

[искать в районе 50-ой страницы]

Теорема о связи открытых и замкнутых множеств, свойства замкнутых множеств[править]

Описание замкнутых и открытых множеств в подпространстве[править]

Свойства верхнего и нижнего пределов[править]

Теорема (о верхнем и нижнем пределе):
Пусть [math] \{ x_n \} [/math] — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения:
  1. Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов [math] \{ x_n \} [/math].
  2. Предел [math] \{ x_n \} [/math] в [math] \overline{\mathbb{R}} [/math] существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.

Техническое описание верхнего предела[править]

Теорема о существовании предела в терминах верхнего и нижнего пределов[править]

Теорема о характеризации верхнего предела как частичного[править]

Эквивалентность определений Гейне и Коши[править]

Теорема:
Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.

Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака[править]

Теорема (единственность предела):
Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B [/math], то [math] A = B [/math].
Теорема (локальная ограниченность отображения, имеющего предел):
Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math]. Тогда существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что [math] f [/math] ограничено в [math] V_a \cap D [/math] (то есть [math] f(V_a \cap D [/math] содержится в некотором шаре пространства [math] Y [/math].

Арифметические свойства пределов[править]

[уже было для последовательностей, то же самое]

Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве[править]

Теорема (предельный переход в неравенстве для функици):
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, g: D \subset X \to \mathbb{R} [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \leqslant g(x) [/math] для всех [math] x \in D \backslash [/math]{[math]a[/math]}[math], \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} [/math], [math] f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B [/math]. Тогда [math] A \leqslant B [/math].
Теорема (о сжатой функции):
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) [/math] для всех [math] x \in D \backslash [/math]{[math]a[/math]}[math], \ A \in \overline{\mathbb{R}} [/math], [math] f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math]. Тогда и [math] g(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math].

Теорема о пределе монотонной функции[править]

Теорема (о пределе монотонной функции):
Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D_1 [/math].
  1. Если [math] f [/math] возрастает и ограничена сверху на [math] D_1 [/math], то существует конечный предел [math] f(a-) [/math].
  2. Если [math] f [/math] убывает и ограничена снизу на [math] D_1 [/math], то существует конечный предел [math] f(a+) [/math].

Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве[править]

Теорема (компактность в пространстве и подпространстве):
Пусть [math] \left ( R, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] Y [/math] — подпространство [math] X [/math], [math] K \subset Y [/math]. Тогда свойства компактности [math] K [/math] в [math] X [/math] и [math] Y [/math] равносильны.

Простейшие свойства компактных множеств[править]

Теорема (свойства компактов):
Пусть [math] \left ( R, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] K \subset X [/math].
  1. Если [math] K [/math] компактно, то [math] K [/math] замкнуто и ограничено.
  2. Если [math] X [/math] компактно, а [math] K [/math] замкнуто, то [math] K [/math] компактно.

Компактность замкнутого куба в R^m[править]

Теорема (компактность замкнутого куба в R^m):
Замкнутый куб в [math] \mathbb{R} ^m [/math] компактен.

Теорема о характеристике компактов в R^m[править]

Теорема (характеристика компактов в R^m):
Пусть [math] K \subset \mathbb{R}^m [/math]. Тогда следующие утверждения равносильны:
  1. [math] K [/math] замкнуто и ограничено.
  2. [math] K [/math] компактно.
  3. Из всякой последовательности точек [math] K [/math] можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий [math] K [/math].

Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса[править]

Теорема (Больцано-Вейерштрасса, принцип выбора):
Из всякой ограниченной последовательности в [math] \mathbb{R}^m [/math] можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость в себе и её свойства[править]

Лемма (свойства сходимости в себе):
Сходящаяся в себе последовательность ограничена.
Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
Теорема:
Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе.
В [math] \mathbb{R}^m [/math] любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Критерий Коши для отображений[править]

Теорема (Больцано-Коши, критерий для отображений):
Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] Y [/math] полно, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math]. Тогда существование в точке [math] a [/math] предела [math] f [/math], принадлежащего [math] Y [/math], равносильно следующему утверждению:

Для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что для любых двух точек [math] \bar{x} [/math] и [math] \bar{\bar{x}} [/math] множества [math] D [/math], принадлежащих проколотой окрестности [math] V_a [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) \lt \varepsilon [/math]:

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) \lt \varepsilon [/math]

Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция[править]

Теорема (арифметические действия над непрерывными отображениями):
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] Y [/math] — нормированное пространство, [math] D \subset X, \ x_0 \in D [/math], отображения [math] f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) [/math] непрерывны в точке [math] x_0 [/math]. Тогда отображения [math] f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert [/math] непрерывны в точке [math] x_0 [/math].
Теорема (о стабилизации знака):
Если функция [math] g: D \to \mathbb{R} [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math], причём [math] g(x_0 ) \neq 0 [/math], то существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math], что [math] sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) [/math] для всех [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math].
Теорема (непрерывность композиции):
Пусть [math] X, Y, Z [/math] — метрические пространства, [math] F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E [/math], [math] f [/math] непрерывно в точке [math] x_0 \in D [/math], [math] g [/math] непрерывно в точке [math] f(x_0) [/math]. Тогда [math] g \circ f [/math] непрерывно в точке [math] x_0 [/math].

Теорема о топологическом определении непрерывности[править]

Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия[править]

Теорема (Вейерштрасс, о непрерывных отображениях):
Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] X [/math] компактно, [math] f \in G(X \to Y) [/math]. Тогда [math] f(X) [/math] компактно.

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:

  1. Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
  2. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
  3. Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
  4. Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

Теорема Кантора[править]

Теорема (Кантор):
Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.

Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении[править]

Теорема (Больцано-Коши, о промежуточном значении):
Пусть функция [math] f [/math] непрерывна на [math] \left [ a, b \right ] [/math]. Тогда для любого числа [math] C [/math], лежащего между [math] f(a) [/math] и [math] f(b) [/math], найдётся такое [math] c \in \left [ a, b \right ] [/math], что [math] f(c) = C [/math].

Теорема о сохранении промежутка[править]

Теорема (о сохранении промежутка):
Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.

Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва[править]

Теорема (о непрерывности монотонной функции):
Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} [/math], [math] f [/math] монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения:
  1. [math] f [/math] не может иметь разрывов второго рода.
  2. Непрерывность [math] f [/math] равносильна тому, что её множество значений — промежуток.

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции[править]

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции):
Пусть [math] f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) [/math], [math] f [/math] строго монотонна, [math] m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) [/math]. Тогда справедливы следующие утверждения:
  1. [math] f [/math] обратима, [math] f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle [/math] — биекция.
  2. [math] f^{-1} [/math] строго монотонна одноимённо с [math] f [/math].
  3. [math] f^{-1} [/math] непрерывна.

Две леммы к определению показательной функции[править]

Лемма:
Пусть [math] a \gt 0, \ \{ r_n \} [/math] — последовательность рациональных чисел, [math] r_n \to 0 [/math]. Тогда [math] a^{r_n} \to 1 [/math].
Лемма:
Пусть [math] a \gt 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} [/math] — последовательность рациональных чисел, [math] r_n \to x [/math]. Тогда существует конечный предел последовательности [math] \left \{ a^{r_n} \right \} [/math].

Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность[править]

Теорема:
Показательная функция строго возрастает на [math] \mathbb{R} [/math] при [math] a \gt 1 [/math] и строго убывает при [math] 0 \lt a \lt 1 [/math].

[math] a^{x + y} = a^x a^y [/math]

Показательная функция непрерывна на [math] \mathbb{R} [/math].

Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства.[править]

Теорема:
[math] (a^x)^y = a^{xy} [/math]

[math] (ab)^x = a^x b^x [/math]

показательная функция — биекция между [math] \mathbb{R} [/math] и [math] (0, + \infty) [/math]
Теорема:
[math] \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y \gt 0) [/math]

[math] \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x [/math]

[math] \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} [/math]

Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним[править]

Теорема:
[math] \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot [/math] и обратные к ним непрерывны на [math] \mathbb{R} [/math].

Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции[править]

Теорема:
[math] \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 [/math]

[math] \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e [/math]
[math] \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a \gt 0, a \neq 1 [/math]
[math] \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} [/math]

[math] \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a \gt 0 [/math]

Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных[править]

Теорема (замена на эквивалентную при вычислении пределов):
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \sim \tilde{f}(x), g(x) \sim \tilde{g}(x), \ x \to x_0 [/math]. Тогда справедливы следующие утверждения:
  1. [math] \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) [/math]
  2. Если [math] x_0 [/math] — предельная точка области определения [math] {{f} \over {g}} [/math], то [math] \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} [/math]

Теорема единственности асимптотического разложения[править]

Теорема (о единственности асимптотического разложения):
Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] D \subset X [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] [/math], при всех [math] k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 [/math], и для любой окрестности [math] V_{x_0} [/math] существует точка [math] t \in V_{x_0} \cap D [/math], в которой [math] g_n (t) \neq 0 [/math]. Тогда, если асимптотическое разложение функции [math] f [/math] по системе [math] \{ g_k \} [/math] существует, то оно единственно: из равенств

[math] f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 [/math]
[math] f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 [/math]

следует, что [math] c_k = d_k [/math] при всех [math] k \in \left [ 0 : n \right ] [/math]

Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования.[править]

Теорема:
Два определения производной равносильны.

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции [math] (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) [/math]; обратной функции [math] (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} [/math]

Дифференцирование композиции и обратной функции[править]

Теорема Ферма (с леммой)[править]

Теорема Ролля[править]

Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной[править]

Теорема Дарбу. Следствия[править]

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано[править]

Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа[править]