Факторгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Факторгруппа)
Строка 4: Строка 4:
  
 
== Факторгруппа ==
 
== Факторгруппа ==
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее нормальную [[Подгруппа|подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
+
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее нормальную [[Подгруппа|подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу:
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
 +
}}
  
 
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
 
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>

Версия 23:36, 2 июля 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Для примера факторгруппы надо: группа [math]G[/math], ее нормальная подгруппа [math]H[/math] и группа-результат.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] - множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу:

Утверждение:
произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

[math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]


Определение:
Таким образом, фактормножество [math]G/H[/math] образует подгруппу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] - [math]a^{-1}H[/math].


Примеры

  • (см. замечание) примером факторгруппы является группа класса вычетов по модулю [math]n[/math].