Формула Зыкова — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 10: Строка 10:
 
<tex>P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}</tex>, где <tex>pt(G,i)</tex> — число способов разбить вершины <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств, <tex>n = |V|</tex>.
 
<tex>P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}</tex>, где <tex>pt(G,i)</tex> — число способов разбить вершины <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств, <tex>n = |V|</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть в <tex>x</tex>-раскраске графа <tex>G</tex>, используется точно <tex>i</tex> цветов.
+
Пусть в <tex>x</tex>-раскраске графа <tex>G</tex> используется точно <tex>i</tex> цветов.
 
* <tex>1 \le i \le x</tex>
 
* <tex>1 \le i \le x</tex>
 
Для получения такой раскраски сначала выберем одним из <tex>pt(G,i)</tex> способов разбиение графа <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств, а затем одним из <tex>{x\choose i} i! = x^{\underline i}</tex> способов <tex>i</tex> упорядоченных цветов из <tex>x</tex>.
 
Для получения такой раскраски сначала выберем одним из <tex>pt(G,i)</tex> способов разбиение графа <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств, а затем одним из <tex>{x\choose i} i! = x^{\underline i}</tex> способов <tex>i</tex> упорядоченных цветов из <tex>x</tex>.

Версия 06:40, 28 ноября 2011

Определение:
Независимым множеством (кокликой, англ. coclique) в графе [math]G[/math] называется непустое множество [math]S \subset V: \forall v,u \in S\[/math] ребро [math](v,u) \notin E[/math].
Теорема (Зыкова):
Для хроматического многочлена графа [math]G[/math] верна формула: [math]P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}[/math], где [math]pt(G,i)[/math] — число способов разбить вершины [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, [math]n = |V|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть в [math]x[/math]-раскраске графа [math]G[/math] используется точно [math]i[/math] цветов.

  • [math]1 \le i \le x[/math]

Для получения такой раскраски сначала выберем одним из [math]pt(G,i)[/math] способов разбиение графа [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, а затем одним из [math]{x\choose i} i! = x^{\underline i}[/math] способов [math]i[/math] упорядоченных цветов из [math]x[/math].

  • [math]i \gt x[/math]

Число [math]x[/math]-раскрасок графа [math]G[/math], в которых используется точно [math]i[/math] цветов равно [math]0[/math], так же как и [math]x^{\underline i}[/math].

Суммирование по [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math] даёт полное число способов.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. — С. 140—141. — ISBN 5-93972-076-5