Формула Тейлора для произвольной функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}}»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
== Введение ==
 +
''Пафос mode on''
 +
 
 +
Формула Тейлора для [[Отображения|функций]] является венцом развития классического анализа.
 +
После её открытия анализ стал развиваться по-другому. Так-то!
 +
 
 +
''Пафос mode off''
 +
 
 +
Пусть функция <tex>y = f(x)</tex>  <tex>\ n</tex>  [[Производные и дифференциалы высших порядков|раз дифференцируема]] в точке <tex>x_0</tex>
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex dpi=150>T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k</tex> {{---}} полином
 +
Тейлора функции <tex>f(x)</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Таким же способом, каким была найдена формула для <tex>b_k</tex>, легко проверить основное свойство
 +
полинома Тейлора:
 +
 
 +
<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)</tex>. Однако, в общем случае, при <tex>x \approx x_0</tex>, <tex>T_n(x) \ne f(x)</tex>
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>f(x) = T_n(x) + r_n(x)</tex>, где <tex>r_n(x)</tex> {{---}} остаток формулы Тейлора.
 +
}}
 +
 
 +
Сейчас мы получим ряд свойств этого остатка при <tex>x \to x_0</tex>.
 +
 
 +
Если <tex>f(x) = P_n(x)</tex>, то, по теореме Тейлора, <tex>f(x) = T_n(x)</tex>, <tex>r_n(x) = 0</tex>
 +
 
 +
== Теорема Пеано ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Пеано
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f</tex> <tex>n</tex> раз дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>. Тогда <tex dpi=150>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>.
 +
где <tex>o(a)</tex> {{---}} такая величина, что <tex dpi=150>\frac{o(a)}{a} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
 +
 
 +
<tex>o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n</tex>, где <tex>\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
 +
Иначе говоря, порядок малости величины слева больше <tex>n</tex>.
 +
|proof=
 +
<tex>r_n(x) = f(x) - T_n(x)</tex>
 +
 
 +
Нужно доказать, что <tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>
 +
 
 +
<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}</tex>
 +
 
 +
<tex>\left[(x-x_0)^n \right]^{(k)} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)(x - x_0)^{n - k}, \quad k = \overline{0, n}</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)}</tex> {{---}} неопределённость <tex>\frac00</tex>. Раскроем по правилу Лопиталя:
 +
 
 +
<tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00</tex>.
 +
Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная
 +
числителя существует только в <tex>x_0</tex>, но не в её окрестности. Воспользуемся тем, что <tex> r_n^{(n - 1)}(x_0) = 0 </tex>:
 +
 
 +
<tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} =</tex>
 +
<tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x) - r_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0</tex>
 +
Это отношение приращения функции к приращению аргумента {{---}} по определению проиизводная.
 +
}}
 +
 
 +
== Теорема Лагранжа ==
 +
 
 +
Если потребовать чего-то большего, чем существование <tex>f^{(k)}(x)</tex>, то остаток можно уточнить.
 +
В этом нам поможет теорема Лагранжа.
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Лагранж
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема в окрестности точки <tex>x_0</tex>.
 +
Тогда <tex dpi=140>\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)</tex> <tex dpi=140>= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k +
 +
\frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}
 +
</tex>
 +
 
 +
<tex>c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)</tex>
 +
 
 +
<tex>f(x)</tex> {{---}} формула Тейлора с остатком по Лагранжу.
 +
|proof=
 +
Введём вспомогательную функцию <tex dpi=150>g(t) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k</tex>, причём <tex>t</tex> находится
 +
между <tex>x</tex> и <tex>x_0</tex>
 +
 
 +
<tex>g(x) = 0</tex>
 +
Заметим, что <tex>g(x_0)</tex> {{---}} остаток в формуле Тейлора.
 +
 
 +
Найдём <tex>g'</tex>: <tex dpi=150>g' =  - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = </tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{k - 1} = </tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = </tex>
 +
 
 +
(суммы сокращаются) <tex dpi=150>= -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!} (x - t)^n</tex>
 +
 
 +
 
 +
<tex>g(x) = 0</tex>,
 +
<tex>g(x_0) = r_0(x)</tex>,
 +
<tex>g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n</tex>
 +
 
 +
Обозначим за <tex>\varphi(t) = (x - t)^{n + 1}</tex>. Тогда <tex>\varphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n</tex>. При <tex>t = x_0</tex>, <tex>\varphi'(t) \ne 0</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим дробь
 +
<tex dpi=150>\frac{g(x)- g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} =</tex> (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) <tex dpi=150>\frac{g'(c_x)}{\varphi'(c_x)} = </tex>
 +
<tex dpi=150> \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}</tex>
 +
 
 +
Но, с другой стороны, <tex dpi=150>\frac{g(x) - g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}</tex>
 +
 
 +
Тогда получим
 +
<tex dpi=150>\frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!} = \frac{+r_n(x)}{+(x - x_0)^{n + 1}}</tex>, что и требовалось.
 +
}}
 +
 
 +
== Исследование функции на экстремум ==
 +
 
 +
Покажем, как использовать формулу Тейлора для исследования функции на экстремум.
 +
<tex>y = f(x), \quad f'(x_0) = 0</tex>. Нужно определить, является ли точка <tex>x_0</tex> точкой эктремума.
 +
 
 +
Будем считать, что функция дифференцируема любое нужное нам число раз.
 +
 
 +
<tex>f'(x_0) = 0</tex>. Пусть <tex>f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(x_0) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0</tex>.
 +
<tex>p</tex> {{---}} первое такое число, что производная <tex>f</tex> такого порядка в этой точке не равна 0.
 +
По формуле Тейлора с остатком по Пеано, <tex>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p + o((x - x_0)^p)</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))</tex>. При <tex>x \approx x_0, \quad 1 + o(1) > \frac12</tex>.
 +
 
 +
<tex>\operatorname{sign}(f(x)- f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)</tex>
 +
 
 +
Заметим, что <tex>\operatorname{sign}(f^{(p)}) = \mathrm{const}</tex>, а <tex>\operatorname{sign}((x - x_0)^p)</tex> {{---}} изменяется.
 +
Тогда возможны два случая:
 +
 
 +
* <tex>p</tex> {{---}} чётное:
 +
 
 +
<tex>\operatorname{sign}(x - x_0)^p = 1</tex>
 +
 
 +
Тогда <tex>\operatorname{sign}(f(x) - f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0))</tex>
 +
 
 +
Если <tex> f^{(p)}(x_0) </tex> больше <tex>0</tex>, то в <tex>x_0</tex> минимум, если меньше {{---}} то максимум.
 +
 
 +
* <tex>p</tex> {{---}} нечётное:
 +
 
 +
<tex>\operatorname{sign}(x - x_0)^p = \pm 1</tex> в зависимости от того, с какой стороны <tex>x</tex> находится от <tex>x_0</tex> на числовой оси. Значит, экстремума в точке <tex>x_0</tex> нет.
 +
 
 +
== Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора ==
 +
 
 +
Разложим ряд элементарных функций в точке <tex>0</tex> по формуле Тейлора:
 +
 
 +
=== y = e^x ===
 +
<tex>y = e^x</tex>
 +
 
 +
<tex>y' = e^x, \ y^{(k)} = e^x</tex>
 +
 
 +
<tex>\left. (e^x)^{(k)} \right|_0 = 1</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!}x^k + o(x^n)</tex>
 +
 
 +
 
 +
=== y = ln(x + 1) ===
 +
<tex>y = \ln(x + 1)</tex>
 +
 
 +
<tex>y(0) = 0, \ y' = (1 + x)^{-1}</tex>
 +
 
 +
<tex>y^{(k + 1)}(x) = [(1 + x)^{-1}]^{(k)} = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k}</tex>
 +
 
 +
<tex>\left. y^{(k + 1)}(0) = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k} \right|_0 = (-1)(-1 -1)\ldots(-k) = (-1)^kk!</tex>
 +
 
 +
<tex>y = \ln(x + 1) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^k\frac1k x^k + o(x^n)</tex>
 +
 
 +
=== y = (x + 1)^α ===
 +
<tex>y = (x + 1)^{\alpha}</tex>
 +
 
 +
<tex>((x+1)^\alpha)^{(k)} = [(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k}</tex>
 +
 
 +
<tex>\left.((x+1)^\alpha)^{(k)}\right|_0 = \left.[(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k} \right|_0 = \binom{\alpha}k</tex>
 +
 
 +
<tex>(1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \binom{\alpha}k x^n + o(x^n)</tex>
 +
 
 +
=== y = sin x ===
 +
<tex>y = \sin x</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>\sin x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n + 1})</tex>
 +
 
 +
=== y = cos x ===
 +
<tex>y = \cos x</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150>\cos x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac1{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n})</tex>
 +
 
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Введение

Пафос mode on

Формула Тейлора для функций является венцом развития классического анализа. После её открытия анализ стал развиваться по-другому. Так-то!

Пафос mode off

Пусть функция [math]y = f(x)[/math] [math]\ n[/math] раз дифференцируема в точке [math]x_0[/math]


Определение:
[math]T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k[/math] — полином Тейлора функции [math]f(x)[/math]


Таким же способом, каким была найдена формула для [math]b_k[/math], легко проверить основное свойство полинома Тейлора:

[math]T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)[/math]. Однако, в общем случае, при [math]x \approx x_0[/math], [math]T_n(x) \ne f(x)[/math]


Определение:
[math]f(x) = T_n(x) + r_n(x)[/math], где [math]r_n(x)[/math] — остаток формулы Тейлора.


Сейчас мы получим ряд свойств этого остатка при [math]x \to x_0[/math].

Если [math]f(x) = P_n(x)[/math], то, по теореме Тейлора, [math]f(x) = T_n(x)[/math], [math]r_n(x) = 0[/math]

Теорема Пеано

Теорема (Пеано):
Пусть [math]f[/math] [math]n[/math] раз дифференцируема в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o((x - x_0)^n)[/math].

где [math]o(a)[/math] — такая величина, что [math]\frac{o(a)}{a} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math].

[math]o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n[/math], где [math]\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math].

Иначе говоря, порядок малости величины слева больше [math]n[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]r_n(x) = f(x) - T_n(x)[/math]

Нужно доказать, что [math]\frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math]

[math]T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}[/math]

[math]\left[(x-x_0)^n \right]^{(k)} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)(x - x_0)^{n - k}, \quad k = \overline{0, n}[/math]

[math]\frac{r_n(x)}{T_n(x)}[/math] — неопределённость [math]\frac00[/math]. Раскроем по правилу Лопиталя:

[math]\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00[/math]. Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная числителя существует только в [math]x_0[/math], но не в её окрестности. Воспользуемся тем, что [math] r_n^{(n - 1)}(x_0) = 0 [/math]:

[math]\frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} =[/math] [math]\frac{r_n^{(n - 1)}(x) - r_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0[/math]

Это отношение приращения функции к приращению аргумента — по определению проиизводная.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лагранжа

Если потребовать чего-то большего, чем существование [math]f^{(k)}(x)[/math], то остаток можно уточнить. В этом нам поможет теорема Лагранжа.

Теорема (Лагранж):
Пусть [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема в окрестности точки [math]x_0[/math].

Тогда [math]\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)[/math] [math]= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} [/math]

[math]c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)[/math]

[math]f(x)[/math] — формула Тейлора с остатком по Лагранжу.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Введём вспомогательную функцию [math]g(t) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k[/math], причём [math]t[/math] находится между [math]x[/math] и [math]x_0[/math]

[math]g(x) = 0[/math] Заметим, что [math]g(x_0)[/math] — остаток в формуле Тейлора.

Найдём [math]g'[/math]: [math]g' = - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = [/math]

[math]= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{k - 1} = [/math]

[math]= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = [/math]

(суммы сокращаются) [math]= -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!} (x - t)^n[/math]


[math]g(x) = 0[/math], [math]g(x_0) = r_0(x)[/math], [math]g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n[/math]

Обозначим за [math]\varphi(t) = (x - t)^{n + 1}[/math]. Тогда [math]\varphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n[/math]. При [math]t = x_0[/math], [math]\varphi'(t) \ne 0[/math].

Рассмотрим дробь [math]\frac{g(x)- g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} =[/math] (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) [math]\frac{g'(c_x)}{\varphi'(c_x)} = [/math] [math] \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}[/math]

Но, с другой стороны, [math]\frac{g(x) - g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}[/math]

Тогда получим

[math]\frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!} = \frac{+r_n(x)}{+(x - x_0)^{n + 1}}[/math], что и требовалось.
[math]\triangleleft[/math]

Исследование функции на экстремум

Покажем, как использовать формулу Тейлора для исследования функции на экстремум. [math]y = f(x), \quad f'(x_0) = 0[/math]. Нужно определить, является ли точка [math]x_0[/math] точкой эктремума.

Будем считать, что функция дифференцируема любое нужное нам число раз.

[math]f'(x_0) = 0[/math]. Пусть [math]f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(x_0) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0[/math]. [math]p[/math] — первое такое число, что производная [math]f[/math] такого порядка в этой точке не равна 0. По формуле Тейлора с остатком по Пеано, [math]f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p + o((x - x_0)^p)[/math]

[math]f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))[/math]. При [math]x \approx x_0, \quad 1 + o(1) \gt \frac12[/math].

[math]\operatorname{sign}(f(x)- f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)[/math]

Заметим, что [math]\operatorname{sign}(f^{(p)}) = \mathrm{const}[/math], а [math]\operatorname{sign}((x - x_0)^p)[/math] — изменяется. Тогда возможны два случая:

  • [math]p[/math] — чётное:

[math]\operatorname{sign}(x - x_0)^p = 1[/math]

Тогда [math]\operatorname{sign}(f(x) - f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0))[/math]

Если [math] f^{(p)}(x_0) [/math] больше [math]0[/math], то в [math]x_0[/math] минимум, если меньше — то максимум.

  • [math]p[/math] — нечётное:

[math]\operatorname{sign}(x - x_0)^p = \pm 1[/math] в зависимости от того, с какой стороны [math]x[/math] находится от [math]x_0[/math] на числовой оси. Значит, экстремума в точке [math]x_0[/math] нет.

Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора

Разложим ряд элементарных функций в точке [math]0[/math] по формуле Тейлора:

y = e^x

[math]y = e^x[/math]

[math]y' = e^x, \ y^{(k)} = e^x[/math]

[math]\left. (e^x)^{(k)} \right|_0 = 1[/math]

[math]e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!}x^k + o(x^n)[/math]


y = ln(x + 1)

[math]y = \ln(x + 1)[/math]

[math]y(0) = 0, \ y' = (1 + x)^{-1}[/math]

[math]y^{(k + 1)}(x) = [(1 + x)^{-1}]^{(k)} = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k}[/math]

[math]\left. y^{(k + 1)}(0) = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k} \right|_0 = (-1)(-1 -1)\ldots(-k) = (-1)^kk![/math]

[math]y = \ln(x + 1) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^k\frac1k x^k + o(x^n)[/math]

y = (x + 1)^α

[math]y = (x + 1)^{\alpha}[/math]

[math]((x+1)^\alpha)^{(k)} = [(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k}[/math]

[math]\left.((x+1)^\alpha)^{(k)}\right|_0 = \left.[(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k} \right|_0 = \binom{\alpha}k[/math]

[math](1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \binom{\alpha}k x^n + o(x^n)[/math]

y = sin x

[math]y = \sin x[/math]

[math]\sin x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n + 1})[/math]

y = cos x

[math]y = \cos x[/math]

[math]\cos x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac1{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n})[/math]