Фундаментальная матрица — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 45: Строка 45:
 
== Литература ==
 
== Литература ==
 
* ''Дж. Кемени, Дж. Снелл'' — "Конечные цепи Маркова", издание "Наука", 1970г., стр. 66
 
* ''Дж. Кемени, Дж. Снелл'' — "Конечные цепи Маркова", издание "Наука", 1970г., стр. 66
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain#Fundamental_matrix Wikipedia - Absorbing Markov Chain, Fundamental matrix]
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain#Fundamental_matrix Wikipedia Absorbing Markov Chain, Fundamental matrix]
  
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
  
 
[[Категория: Марковские цепи ]]
 
[[Категория: Марковские цепи ]]

Версия 23:16, 12 марта 2018

Определение:
Фундаментальной матрицей (англ. Fundamental matrix) цепи Маркова называется матрица [math] N = \sum\limits_{i=0}^{\infty} Q^n[/math], где [math]Q[/math]матрица переходов между непоглощающими состояниями, в которой отсутствуют строки с поглощающими состояниями


Теорема:
[math] N = (I - Q) ^ {-1} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Домножим обе части равенства в определении на [math] (I - Q) [/math]:

[math] (I - Q)N = (I - Q)(I + Q + Q^2 + \ldots) = I - Q + Q - Q^2 + Q^3 - Q^3 + \ldots = I[/math]

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то ряд действительно сходится. Далее, домножив на [math] (I - Q) ^ {-1} [/math], получим требуемое равенство.

Осталось лишь доказать, что матрица [math] (I - Q) ^ {-1} [/math] существует, то есть [math](I - Q) [/math] — невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

[math] (I - Q) x = 0 [/math]

[math] Ix = Qx [/math]

[math] x = Qx [/math]

Домножив слева последнее равенство на матрицу [math] Q [/math] слева, получим:

[math] Qx = Q^2x [/math]

Но [math] x = Qx [/math], значит, [math] x = Q^2x [/math]

Аналогично, [math] x = Q^nx [/math] для сколь угодно большого n.

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то обязательно [math] x = 0[/math]. Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица [math] I Q[/math] — невырожденная.
[math]\triangleleft[/math]

Применение

Фундаментальная матрица задает средние времена, которые марковский процесс проводит в невозвратном состоянии.

Так же фундаментальная матрица используется при расчете вероятности поглощения в состоянии

См.также

Литература