Фундаментальные циклы графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
Рассмотрим остов <tex>T</tex> графа <tex>G</tex>. <tex>e_1,...,e_{s}</tex> — все ребра графа <tex>G</tex>, которые не входят в остов <tex>T</tex>. При добавлении <math>e_{i}</math> образуется простой цикл <tex>C_{i}</tex>. Семейство циклов <tex>C_1 ... C_{s}</tex>  называется '''фундаментальными циклами графа <tex>G</tex> относительно остова <tex>T</tex>'''.
{{Определение
 
|definition =
 
Рассмотрим каркас <tex>T</tex> графа <tex>G</tex>. <tex>e_1,...,e_{s}</tex> — все ребра графа <tex>G</tex>, которые не входят в каркас <tex>T</tex>. При добавлении <math>e_{i}</math> образуется простой цикл <tex>C_{i}</tex>. Семейство циклов <tex>C_1 ... C_{s}</tex>  называется '''фундаментальными циклами графа <tex>G</tex> относительно каркаса <tex>T</tex>'''
 
}}
 
 
 
  
 
[[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе.]]
 
[[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе.]]
Строка 12: Строка 7:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
Множество всех фундаментальных циклов относительно любого каркаса <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> образует базис циклического пространства этого графа.
+
Множество всех фундаментальных циклов относительно любого остова <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> образует базис циклического пространства этого графа.
 
|proof =
 
|proof =
  
Рассмотрим каркас <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> и фундаментальные циклы <tex> C_1 ... C_s </tex> относительно каркаса <tex>T</tex>. В каждом цикле есть ребро <tex>e_i</tex>, которое принадлежит ровно одному из <tex> C_1 ... C_{s} </tex>. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно каркаса <tex>T</tex> не является пустым графом, из чего следует, что <tex> C_1 ... C_s </tex> линейно независимы.
+
Рассмотрим остов <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> и фундаментальные циклы <tex> C_1 ... C_s </tex> относительно остова <tex>T</tex>. В каждом цикле есть ребро <tex>e_i</tex>, которое принадлежит ровно одному из <tex> C_1 ... C_{s} </tex>. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно остова <tex>T</tex> не является пустым графом, из чего следует, что <tex> C_1 ... C_s </tex> линейно независимы.
  
 
Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа <tex>G</tex> является суммой фундаментальных циклов. Пусть <tex>Z</tex> — цикл циклического пространства графа <tex>G</tex>, <tex> e_1 ... e_{k} </tex> ребра принадлежащие <tex>Z</tex> и не принадлежащие <tex>T</tex>. Рассмотрим граф <tex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>. Каждое из ребер <tex> e_{t} , t = 1,..,k </tex> встречается ровно в двух слагаемых — <tex>Z</tex> и <tex>C_{k}</tex>. Значит <tex>F</tex> содержит только ребра из <tex>T</tex>. Так как <tex> C_1 ... C_{k} </tex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин <tex>Z</tex> тоже четны по [[Циклическое пространство графа|лемме]], значит степени всех вершин <tex>F</tex> четны. Если <tex>F</tex> непустой граф, то в <tex>F</tex> есть цикл, значит цикл есть и в <tex>T</tex>. Значит <tex>F</tex> пустой граф, откуда следует что <tex>Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>.
 
Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа <tex>G</tex> является суммой фундаментальных циклов. Пусть <tex>Z</tex> — цикл циклического пространства графа <tex>G</tex>, <tex> e_1 ... e_{k} </tex> ребра принадлежащие <tex>Z</tex> и не принадлежащие <tex>T</tex>. Рассмотрим граф <tex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>. Каждое из ребер <tex> e_{t} , t = 1,..,k </tex> встречается ровно в двух слагаемых — <tex>Z</tex> и <tex>C_{k}</tex>. Значит <tex>F</tex> содержит только ребра из <tex>T</tex>. Так как <tex> C_1 ... C_{k} </tex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин <tex>Z</tex> тоже четны по [[Циклическое пространство графа|лемме]], значит степени всех вершин <tex>F</tex> четны. Если <tex>F</tex> непустой граф, то в <tex>F</tex> есть цикл, значит цикл есть и в <tex>T</tex>. Значит <tex>F</tex> пустой граф, откуда следует что <tex>Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>.

Версия 00:42, 23 декабря 2013

Рассмотрим остов [math]T[/math] графа [math]G[/math]. [math]e_1,...,e_{s}[/math] — все ребра графа [math]G[/math], которые не входят в остов [math]T[/math]. При добавлении [math]e_{i}[/math] образуется простой цикл [math]C_{i}[/math]. Семейство циклов [math]C_1 ... C_{s}[/math] называется фундаментальными циклами графа [math]G[/math] относительно остова [math]T[/math].

Пример фундаментального цикла в графе.


Свойства

Теорема:
Множество всех фундаментальных циклов относительно любого остова [math]T[/math] графа [math]G[/math] образует базис циклического пространства этого графа.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим остов [math]T[/math] графа [math]G[/math] и фундаментальные циклы [math] C_1 ... C_s [/math] относительно остова [math]T[/math]. В каждом цикле есть ребро [math]e_i[/math], которое принадлежит ровно одному из [math] C_1 ... C_{s} [/math]. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно остова [math]T[/math] не является пустым графом, из чего следует, что [math] C_1 ... C_s [/math] линейно независимы.

Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа [math]G[/math] является суммой фундаментальных циклов. Пусть [math]Z[/math] — цикл циклического пространства графа [math]G[/math], [math] e_1 ... e_{k} [/math] ребра принадлежащие [math]Z[/math] и не принадлежащие [math]T[/math]. Рассмотрим граф [math] F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} [/math]. Каждое из ребер [math] e_{t} , t = 1,..,k [/math] встречается ровно в двух слагаемых — [math]Z[/math] и [math]C_{k}[/math]. Значит [math]F[/math] содержит только ребра из [math]T[/math]. Так как [math] C_1 ... C_{k} [/math] простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин [math]Z[/math] тоже четны по лемме, значит степени всех вершин [math]F[/math] четны. Если [math]F[/math] непустой граф, то в [math]F[/math] есть цикл, значит цикл есть и в [math]T[/math]. Значит [math]F[/math] пустой граф, откуда следует что [math]Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.55. — ISBN 978-5-397-00622-4.