Функция Мебиуса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 4 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
|definition=
 
|definition=
 
Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
 
Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.
+
* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат простого числа, отличный от 1.
* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.
+
* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат простого числа, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.
 
}}
 
}}
  
 
==== Свойства ====
 
==== Свойства ====
*1. Функция Мёбиуса [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативна]].
+
*1. Функция Мёбиуса [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативна]] для взаимно простых <tex>m</tex> и <tex>n</tex>.
 
** '''Доказательство:'''  <tex> \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) </tex>. Если '''m''' или '''n''' <tex> \vdots p^2 </tex>, то <tex> 0 = 0</tex>. Иначе пусть <tex> n=\prod p_i, m=\prod p_j </tex>, и <tex> k_n, k_m </tex> {{---}} количество чисел в произведении, соответственно. <tex> \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} </tex> ч.т.д.
 
** '''Доказательство:'''  <tex> \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) </tex>. Если '''m''' или '''n''' <tex> \vdots p^2 </tex>, то <tex> 0 = 0</tex>. Иначе пусть <tex> n=\prod p_i, m=\prod p_j </tex>, и <tex> k_n, k_m </tex> {{---}} количество чисел в произведении, соответственно. <tex> \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} </tex> ч.т.д.
 
*2. Пусть <tex> \theta (a) </tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативная]] функция, и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> {{---}} каноническое разложение числа '''a''', тогда <center> <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>. </center>
 
*2. Пусть <tex> \theta (a) </tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативная]] функция, и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> {{---}} каноническое разложение числа '''a''', тогда <center> <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>. </center>
 
** '''Доказательство:'''  <tex> \mu(a) , \theta(a)</tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативны]], значит <tex> \theta_1 (a) = \mu(a)\theta(a) </tex> тоже мультипликативна. Пусть '''p''' {{---}} простое, значит <tex> \mu(p) = -1 </tex>, поэтому <tex> \theta_1(p) = -\theta(p)</tex>. Также <tex> \mu(p^s) =0(s \ge 2)</tex>, значит <tex> \theta_1(p^s) = 0 </tex>. Теперь применим свойство о сумме, распространенной на  все делители некоторого числа, [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] функции, откуда получим <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>.
 
** '''Доказательство:'''  <tex> \mu(a) , \theta(a)</tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативны]], значит <tex> \theta_1 (a) = \mu(a)\theta(a) </tex> тоже мультипликативна. Пусть '''p''' {{---}} простое, значит <tex> \mu(p) = -1 </tex>, поэтому <tex> \theta_1(p) = -\theta(p)</tex>. Также <tex> \mu(p^s) =0(s \ge 2)</tex>, значит <tex> \theta_1(p^s) = 0 </tex>. Теперь применим свойство о сумме, распространенной на  все делители некоторого числа, [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] функции, откуда получим <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>.
 
*3. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
 
*3. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>.
+
: <tex>
** '''Доказательство:'''  Воспользуемся свойством 2, где <tex> \theta(a) = 1</tex>.
+
\sum_{d | n} \mu(d) =
 +
\left\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
1 & \mbox{if } n = 1 \\
 +
0 & \mbox{if } n > 1
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</tex>
 +
* '''Доказательство:'''  Воспользуемся свойством 2, где <tex> \theta(a) = 1</tex>.

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Функция Мёбиуса

Определение:
Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами:
  • [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат простого числа, отличный от 1.
  • [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат простого числа, где k — число простых делителей a.


Свойства

  • 1. Функция Мёбиуса мультипликативна для взаимно простых [math]m[/math] и [math]n[/math].
    • Доказательство: [math] \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) [/math]. Если m или n [math] \vdots p^2 [/math], то [math] 0 = 0[/math]. Иначе пусть [math] n=\prod p_i, m=\prod p_j [/math], и [math] k_n, k_m [/math] — количество чисел в произведении, соответственно. [math] \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} [/math] ч.т.д.
  • 2. Пусть [math] \theta (a) [/math]мультипликативная функция, и [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда
    [math] \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))[/math].
    • Доказательство: [math] \mu(a) , \theta(a)[/math]мультипликативны, значит [math] \theta_1 (a) = \mu(a)\theta(a) [/math] тоже мультипликативна. Пусть p — простое, значит [math] \mu(p) = -1 [/math], поэтому [math] \theta_1(p) = -\theta(p)[/math]. Также [math] \mu(p^s) =0(s \ge 2)[/math], значит [math] \theta_1(p^s) = 0 [/math]. Теперь применим свойство о сумме, распространенной на все делители некоторого числа, мультипликативной функции, откуда получим [math] \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))[/math].
  • 3. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
[math] \sum_{d | n} \mu(d) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if } n = 1 \\ 0 & \mbox{if } n \gt 1 \end{array} \right. [/math]
  • Доказательство: Воспользуемся свойством 2, где [math] \theta(a) = 1[/math].