Функция Эйлера — различия между версиями
Haliullin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Определение |definition= Функция Эйлера от натурального числа <tex>n</tex> возвращает количество н…») |
Bochkarev (обсуждение | вклад) (→Еще примеры) |
||
(не показано 10 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | == Функция Эйлера == | ||
+ | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Функция Эйлера | + | Функция Эйлера <tex>\varphi (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число чисел ряда <tex>0, 1, \ldots, a-1 </tex>, взаимно простых с '''a'''. |
}} | }} | ||
− | + | ||
− | === | + | ==== Примеры: ==== |
− | + | <tex> \varphi (1) = 1</tex>, <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<br> | |
− | + | <tex> \varphi (2) = 1</tex>, <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br> | |
− | + | <tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br> | |
− | + | ==== Свойства функции Эйлера ==== | |
+ | *1. '''Доказательство:''' <tex> \varphi (p) = p-1 </tex>, p {{---}} [[Простые числа|простое]], <tex> \varphi (p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}</tex>. | ||
+ | ** Логически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства. | ||
+ | *2. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда | ||
+ | <center><tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>. </center> | ||
+ | |||
+ | ** '''Доказательство:''' Пусть <tex> x </tex> пробегает числа <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex>, положим <tex> \sigma_x = (a, x)</tex> {{---}} [[Наибольший общий делитель|НОД]]. Тогда <tex> \varphi(a) </tex> есть число значений <tex> \sigma_x </tex>, равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если <tex> \sigma_x = 1</tex>, и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>, где <tex> \mu(a) </tex> {{---}} [[Функция Мебиуса|функция Мебиуса]]. Отсюда <tex> \varphi(a) = \sum_{0 \le x \le a-1}(\sum_{d | a} \mu(d))</tex>. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям '''d''' числа <tex> \sigma_x = ( x , a )</tex>, то '''d''' делит '''x''' и '''a''' . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те '''x''' , которые кратны '''d''' . Таких '''x''' среди чисел <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex> ровно <tex> \frac{a}{d} </tex> штук. Получается, что <tex> \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(d) = a\sum_{d | a} \frac{\mu(d)}{d} = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>. | ||
+ | |||
+ | *3. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>. | ||
+ | ** Вытекает из первого свойства. | ||
+ | |||
+ | ==== Еще примеры ==== | ||
+ | * <tex> \varphi(60) = 60(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5}) = 16</tex> | ||
+ | * <tex> \varphi(81) = 81 - 27 = 54 </tex> |
Версия 04:41, 13 октября 2010
Функция Эйлера
Определение: |
Функция Эйлера | определяется для всех целых положительных a и представляет собою число чисел ряда , взаимно простых с a.
Примеры:
, ,
, .
Свойства функции Эйлера
- 1. Доказательство: простое, .
- Логически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства.
, p — - 2. Пусть — каноническое разложение числа a, тогда
- Доказательство: Пусть НОД. Тогда есть число значений , равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если , и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : , где — функция Мебиуса. Отсюда . Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям d числа , то d делит x и a . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те x , которые кратны d . Таких x среди чисел ровно штук. Получается, что . пробегает числа , положим —
- 3. Функция Эйлера является мультипликативной .
- Вытекает из первого свойства.