Изменения

''Функция Эйлера '' <tex>\varphi (an) </tex> определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число как количество натуральных чисел ряда , не превосходящих <tex>0, 1, \ldots, a-1 n</tex>, и взаимно простых с '''a'''<tex>n</tex>.

{{Определение|definition=Функция <tex>f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} </tex> называется ''мультипликативной'', если <tex>f(mn) =f(m)f(n)</tex> для любых взаимно простых <tex>m, n</tex>.}} {{Теорема|about =Мультипликативность функции Эйлера|statement = ПримерыДля любых взаимно простых чисел <tex>m, n</tex> : <math>\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math>|proof =Запишем <math>n \cdot m</math> натуральных чисел, не превосходящих <math>n \cdot m</math>, в виде прямоугольной таблицы с <math>n</math> столбцами и <math>m</math> строками, располагая первые <math>n</math> чисел в первой строке, вторые <math>n</math> чисел во второй и т.д.  Поскольку <math>n</math> и <math>m</math> взаимно просты, то целое <math>s</math> взаимно просто с <math>n \cdot m</math> тогда и только тогда, когда оно взаимно просто как с <math>n</math>, так и с <math>m</math>. Итак, нужно доказать, что количество чисел в таблице, взаимно простых с <math>n</math> и с <math>m</math> равно <math>\varphi(m)\varphi(n)</math>.  В данном доказательстве мы используем тот факт, что число <math>s</math> взаимно просто с натуральным <math>k</math> тогда и только тогда, когда остаток деления <math>s</math> на <math>k</math> тоже взаимно прост с <math>k</math>. Данный факт довольно очевиден и используется в [https://e-maxx.ru/algo/euclid_algorithm Алгоритме Евклида]. Теперь приступим непосредственно к доказательству. Число находящееся в <math>i</math>-ой строке и <math>j</math>-ом столбце нашей таблицы можно представить в виде <math>n(i - 1) + j</math>. Если это число взаимно просто с <math>n</math>, то и остаток этого числа по модулю <math>n</math> тоже взаимно прост с <math>n</math>. Но тогда и все числа в данном столбце тоже взаимно просты с <math>n</math>, так как весь столбец можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью <math>n</math>, а при добавлении <math>n</math> остаток деления по модулю <math>n</math> не меняется. Поэтому, числа взаимно простые с <math>n</math> в таблице занимают ровно <math>\varphi(n)</math> столбцов. Перед тем как продолжить доказательство, давайте рассмотрим небольшое утверждение. Пусть нам даны <math>m</math> последовательных членов арифметической прогрессии <math>a, a + d, \dots , a + (m - 1)d</math>. Тогда, если <math>(d, m) =1</math>, то остатки всех этих <math>m</math> чисел по модулю <math>m</math> разные, а значит, образуют все множество остатков <math>\{0, \dots , m - 1\}</math>, причем каждый остаток получается ровно из одного из членов прогрессии. Воспользуемся данным утверждением, подставив разность арифметической прогресии <math>d =n</math>. Тогда в каждом из <math>\varphi(n)</math> столбцов есть ровно <math>\varphi(m)</math> чисел, взаимно простых с <math>m</math>. Следовательно всего чисел, взаимно простых и с <math>n</math> и с <math>m</math> равно <math>\varphi(m)\varphi(n)</math>, что и требовалось доказать.  }} == Функции <tex>\sigma(n)</tex>, <tex>\tau(n)</tex> и <tex> \varphi (n)</tex>, их мультипликативность и значения == Каноническое разложение числа <tex>\displaystyle n = \prod_{i=1}^{r}p_i^{s_i} </tex>, где <tex>r</tex> {{---}} количество простых делителей числа <tex>n</tex>, <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-ый простой делитель, <tex>s_i</tex> {{---}} максимальная степень вхождения этого простого делителя. ==== Функция <tex>\sigma(n) </tex> ====  Функция <tex>\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} </tex> определяется как сумма делителей натурального числа <tex>n</tex>:<center><tex>\displaystyle\sigma(n) = \sum_{d | n}d </tex></center> Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и делителей <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует, что функция <tex>\sigma(n)</tex> мультипликативна: Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex>\displaystyle\sigma(p) = p + 1</tex>. При этом легко обобщается для некоторой степени <math>p</math>: <center><tex>\displaystyle\sigma(p^s) = \sum_{k=0}^{s}p^k = \frac{p^{s + 1} - 1}{p - 1} </tex></center> В силу мультипликативности функции:<center><tex> \displaystyle \sigma (n) = \prod_{i = 1}^{r}{\frac{p_{i}^{s_i+1}-1} {p_{i}-1}} </tex></center> ==== Функция <tex>\tau(n)</tex> ==== Функция <tex>\tau: \mathbb{N} \to \mathbb{N} </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа <tex>n</tex>: <center><tex>\displaystyle\tau(n) = \sum_{d | n}1 </tex></center> Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и делителей <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует, что функция <tex> \varphi tau(n)</tex> мультипликативна:<center><math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)</math></center> Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex>\displaystyle\tau(4p) = 2</tex>,. При этом легко обобщается для некоторой степени <math>p</math>: <center><tex>\displaystyle\tau(p^s) = s + 1 </tex><br/center> В силу мультипликативности функции:<center><tex> \varphi displaystyle \tau(2n) = \prod_{i = 1}^{r}(s_i + 1) </tex>, </center> ==== Функция <tex>\varphi(n)</tex> ==== Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex> \displaystyle\varphi (5p) = 4p - 1</tex>,. На некоторую степень <math>p<br/math>формулу можно обобщить:<center><tex> \displaystyle\varphi (3p^s) = 2p^s - p^{s - 1} </tex></center>Обосновывается следующим образом: Все не взаимно простые с <math>p^s</math> числа в диапазоне от 1 до <math>p^s</math>, очевидно, кратны <math>p</math>. Всего таких чисел <math>p^{s - 1}</math>. В силу мультипликативности функции:<center><tex> \displaystyle \varphi (6n) = \prod_{i = 1}^{r}(p_i^{s_i} - p_i^{s_i - 1}) = \prod_{i = 1}^{r}p_i^{s_i}(1 - \frac{1}{p_i}) = 2n\prod_{i = 1}^{r}(1 - \frac{1}{p_i}) </tex>.<br/center> ==Малая теорема Ферма и теорема Эйлера == Свойства функции  {{Теорема|about= Теорема Эйлера  |statement =Если <math>n</math> и <math>a</math> {{---}} взаимно простые целые числа, то <math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)</math> |proof =Число <math>\overline{x}</math> называется вычетом по модулю <math>n</math>, если <math>\overline{x} \equiv x \ (mod \ n)</math>. Вычет <math>\overline{x}</math> называется обратимым вычетом, если существует вычет <math>\overline{y}</math>, такой что <math>\overline{x}\overline{y} \equiv 1 \ (mod \ n)</math>. Заметим, что вычет <math>\overline{x}</math> обратим тогда и только тогда, когда <math>\overline{x}</math> и <math>n</math> взаимно просты. Это обосновывается тем, что данное выражение можно представить в виде [https://e-maxx.ru/algo/diofant_2_equation линейного диофантово уравнения второго порядка] <math>\overline{x}\cdot\overline{y} + m \cdot n =1</math>. Как видно из статьи, решение существует только при <math>(\overline{x}, n) =1</math>. В таком случае, у числа <math>n</math> существует всего <math>\varphi(n)</math> обратимых вычетов. Пусть <math>\mathbb{Z}_{n}^{*}</math> {{---}} множество всех обратимых вычетов по модулю <math>n</math>. Достаточно доказать данную теорему только для вычетов, так как мы знаем, что если остаток числа <math>a</math> по модулю <math>n</math> взаимно прост с <math>n</math>, то и само число взаимно просто с <math>n</math>. Напомним, что данный факт был ранее доказан в доказательстве мультипликативности функции Эйлера. Рассмотрим вычеты по модулю <math>n</math>. Так как <math>n</math> и <math>a</math> взаимно просты, то вычет <math>\overline{a}</math> обратим. Пусть <math>\overline{b_1}, \overline{b_2}, \dots , \overline{b_{\varphi(n)}}</math> {{---}} все обратимые вычеты по модулю <math>n</math>. Тогда вычет <math>\overline{b} = \overline{b_1}\overline{b_2}\dots\overline{b_{\varphi(n)}}</math>, равный произведению всех обратимых вычетов, тоже обратим. Заметим, что отображение <math>\mathbb{Z}_{n}^{*} \to \mathbb{Z}_{n}^{*}</math>, заданное формулой <math>\overline{x} \mapsto \overline{a}\cdot\overline{x}</math> является биекцией. Действительно, мы просто умножаем каждый остаток на какую-то константу, от этого множество вычетов не изменится. В таком случае в выражении <math> \overline{a}^{\varphi(n)}\overline{b} = (\overline{a} \overline{b_1}) \dots (\overline{a} \overline{b_{\varphi(n)}}) </math>, в правой части стоит произведение всех обратимых вычетов, но взятое в другом порядке. Тогда <math>\overline{a}^{\varphi(n)}\overline{b} = \overline{b}</math>. Умножая обе части на вычет, обратный к <math>\overline{b}</math>, получим, что <math>\overline{a}^{\varphi(n)} \equiv 1\ (mod \ n) </math>, что и требовалось доказать. Функция  }} Следствием теоремы Эйлера является [[Мультипликативность малая теорема Ферма. У нее также есть доказательство без использования более общей теоремы Эйлера, однако его мы приводить не будем.  {{Теорема|about = Малая теорема Ферма |statement = Если целое число <math>a</math> и простое число <math>p</math> {{---}} взаимно просты, то <math>a^{p - 1} \equiv 1 \ (mod \ p)</math> |proof = Так как <math>p</math> {{---}} простое, то <math>\varphi(p) = p - 1</math>. Воспользуемся теоремой Эйлера, тогда <math>a^{\varphi(p)} = a^{p - 1} \equiv 1 \ (mod \ p)</math>, что и требовалось доказать. }} == Различные свойства функцииЭйлера == {{Теорема|about =  |statement = Если для каких-то натуральных чисел <math>a</math> и <math>b</math> верно, что <math>a\, свертка Дирихле|мультипликативной]] \,b</math>, тогда верно и <math>\varphi(a)\,|\, \varphi(b)</math> |proof = Воспользуемся формулой для <tex> \displaystyle \varphi(a_1 a_2n) = \varphiprod_{i = 1}^{r}(a_1p_i^{s_i} - p_i^{s_i - 1})= \varphiprod_{i = 1}^{r}p_i^{s_i - 1}(a_2p_i - 1) </tex>.*2. Пусть :<texmath> a = {p_1}^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot p_{r_a}^{p_2\alpha_{r_a}},</math>:<math>b = p_1^{\alpha_2beta_1} \cdot\ldots \cdot p_{p_kr_b}^{\alpha_kbeta_{r_b}}</texmath> При этом, так как <math> — каноническое разложение числа '''a'''\,|\,b</math>, то <math>r_a \leq r_b</math>, а также <math>\forall i \in [1\, ;\, тогдаr_a] \ \alpha_i \leq \beta_i</math> <math></math> Значит, <tex> \displaystyle\frac{\varphi(b)}{\varphi (a) }</tex><tex>\displaystyle = a(1 - \frac{\displaystyle\prod_{i = 1}^{r_b}p_i^{p_1\beta_i - 1}) (p_i - 1 - )}{\displaystyle\fracprod_{i = 1}^{p_2r_a}p_i^{\alpha_i - 1}(p_i - 1) } = \ldots displaystyle(\prod_{i = 1 }^{r_a}p_i^{\beta_i - \fracalpha_i}) \cdot \displaystyle(\prod_{i = r_a + 1}^{p_kr_b}p_i^{\beta_i - 1}(p_i - 1))</tex>, а значит, <math>\varphi(a)\,|\, \varphi(b)</math>, что и требовалось доказать. }}** {{Теорема|about =  |statement = Для любого натурального числа <math>n</math> выполнено равенство <texmath> \displaystyle n = \sum_{d | n} \varphi (pd) </math> |proof = Данную теорему можно доказать разложив по формуле <math>\varphi(d)</math>, а можно более элегантно: Рассмотрим <math>n</math> дробей <math>\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots , \frac{n}{n}</math>. Каждую дробь представим в виде несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>.Заметим, что множество значений <math>q</math> {{---1 }} это множество делителей числа <math>n</math>. Так как дробь <math>\frac{p}{q}</texmath>несократима, то <math>p </math> и <math>q</math> взаимно просты. Зная, что <math>p \leq q</math>, легко понять, что всего дробей со знаменателем <math>q</math> ровно <math>\varphi(q)</math>. Так как, все <math>n</math> дробей мы представили в несократимом виде, где знаменатель является делителем <math>n</math>, то <math>\displaystyle \sum_{d | n} \varphi(d) = n</math>, так как всего дробей <math>n</math>, что и требовалось доказать. }} : {{Теорема|about = Обобщённая мультипликативность |statement = Пусть <math>n</math> и <math>m</math> {{---}} [[Простые любые два натуральных числа, а <math>d = (n,\ m)</math>, тогда:: <math>\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)\cdot\frac{d}{\varphi(d)}</math> |простое]] несложно понятьproof =  Пусть <math>(m,\,n)=d,</math> тогда <math>m = m'd, \; n = n'd,</math> причем в общем случае <math>(m',\,d) \neq 1</math> и <math>(n',\,d) \neq 1.</math> Поэтому можно записать::<math>d = d_1^{\delta_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\delta_k} \cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\delta_{K}},</math>:<math>m' = d_1^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_r^{\beta_r},</math>:<math>n' = d_{k+1}^{\gamma_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\gamma_{K}} \cdot q_1^{\varepsilon_1} \cdot\ldots\cdot q_s^{\varepsilon_s}.</math>Здесь первые <math>k</math> делителей <math>d</math> являются также делителями <math>m', что <tex/math> а последние <math>K-k</math> делителей <math>d</math> являются делителями <math>n'.</math> Распишем::<math> \varphi (pmn)= \varphi(d^2 \cdot m'n')= \varphi((d_1^{\delta_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\delta_k} \cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\alphadelta_{K}}) = p^2 \cdot d_1^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_r^{\beta_r} \cdot d_{k+1}^{\gamma_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\gamma_{K}} \cdot q_1^{\alphavarepsilon_1} - p\cdot\ldots\cdot q_s^{\alpha varepsilon_s}).</math>В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы:<math>\varphi(p^n) = p^n(1- \frac{1}{p}),</math>где <math>p</texmath>. Отсюда по [[Мультипликативность функции— простое, свертка Дирихле|мультипликативности]] получаем::<texmath> \begin{align}\varphi (amn)  &= d_1^{\alpha_1+\delta_1}\left(1-\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k+\delta_k}\left(1-\frac{1}{d_k}\right) \cdot p_1^{\alpha_1beta_1} \left(1- \frac{1}{p_1}\right) \cdot\ldots\cdot p_r^{\alpha_1beta_r}\left(1-\frac{1}{p_r}\right) \cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}}\left(p_21-\frac{1}{d_{k+1}}\right) \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\alpha_2delta_{K} }\left(1- p_2\frac{1}{d_{K}}\right)\times \\ &\; \times \; d_{k+1}^{\alpha_2gamma_{k+1}+\delta_{k+1}}\left(1-\frac{1}{d_{k+1}}\right) \cdot\ldots \cdot d_{K}^{\gamma_{K}+\delta_{K}}\left(p_k1-\frac{1}{d_{K}}\right) \cdot q_1^{\alpha_kvarepsilon_1}\left(1-\frac{1}{q_1}\right) \cdot\ldots\cdot q_s^{\varepsilon_s}\left(1-\frac{1}{q_s}\right) \cdot d_1^{\delta_1} \left(1- p_k\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot d_{k+1}^{\alpha_kdelta_{k+1}}\left(1-\frac{1}{d_{k+1}}\right)\times \\ &\; \times \; \frac{1}{\left(1-\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot \left(1-\frac{1}{d_K}\right)}\end{align}</math>В первой строке записано <math>\varphi(m),</math> во второй — <math>\varphi(n),</math> а третью можно представить, как <math>\frac{d}{\varphi(d)}.</math> Поэтому::<math>\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n) \cdot \frac{d}{\varphi(d)}</math> }} == Применение теоремы Эйлера в других задачах == ==== Задача об ожерельях ==== {{Задача|definition=Требуется посчитать количество ожерелий из <tex>n</tex>бусинок, выносим каждая из которых может быть покрашена в один из каждой скобки <tex> p_ik </tex> цветов. При сравнении двух ожерелий их можно поворачивать, но не переворачивать (т.е. разрешается сделать циклический сдвиг).}} В ходе решения задачи мы приходим к формуле <tex>|C| =</tex> <tex> \dfrac{1} {n}</tex><tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} k^{\alpha_imathrm{gcd}(i,n)}</tex> Мы можем улучшить эту формулу, если рассмотрим выражение <math>\mathrm{gcd}(i, получаем n)</math>. Пусть <texmath> \varphi mathrm{gcd}(ai,n) = aq</math>, тогда числа <math>i</math> и <math>n</math> оба делятся на <math>q</math> и больше не имеют общих делителей. Тогда <math>\mathrm{gcd}(1 - \frac{i}{q},\frac{n}{q}) = 1</math>. Таких натуральных <math>i \in [1 ; n]</math> и имеющих <math>\mathrm{gcd}(i,n) = q</math> ровно <tex>\varphi\left(\dfrac{p_1n}{q}\right) </tex>. Пользуясь функцией Эйлера, мы можем привести формулу к более лаконичному виду <tex>|C| =</tex> <tex> \dfrac{1} {n}</tex><tex>\sum\limits_{q|n}\varphi\left(1 - \fracdfrac{1n}{p_2q}\right)k^q</tex>. == Алгоритм ==Основной идеей алгоритма является формула <tex> \displaystyle \varphi(n) = n\ldots prod_{i = 1}^{r}(1 - \frac{1}{p_kp_i})</tex>.Для решения задачи нам нужны только простые делители числа <math>n</math>. Их можно найти с помощью алгоритма факторизации. Написанный ниже алгоритм использует факторизацию числа, работающую за <math>O(\sqrt{n})</math>, однако есть более [https://e-maxx.ru/algo/factorization эффективные алгоритмы]. Асимптотика вычисления <math> \displaystyle \varphi(n) = O(\sqrt{n})</math>.   '''function''' phi (n): result = n i = 2 '''while''' (i*i <= n): '''if''' n % i == 0: '''while''' n % i == 0: n /= i result -= result / i i++ '''if''' (n > 1): result -= result/n '''return''' result == См. также ==* [[Задача об ожерельях]] == Ссылки ==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Эйлера Wikipedia {{---}} Функция Эйлера]* [https://e-maxx.ru/algo/euler_function Алгоритм нахождения функции Эйлера]* [https://wikichi.ru/wiki/Divisor_function Функция <math>\sigma</math>]