Функция Эйлера
| Определение: |
| Функция Эйлера [math]\varphi (a) [/math] определяется для всех целых положительных a и представляет собою число чисел ряда [math]0, 1, \ldots, a-1 [/math], взаимно простых с a. |
Примеры:
[math] \varphi (1) = 1[/math], [math] \varphi (4) = 2[/math],
[math] \varphi (2) = 1[/math], [math] \varphi (5) = 4[/math],
[math] \varphi (3) = 2[/math], [math] \varphi (6) = 2[/math].
Свойства функции Эйлера
- 1. Функция Эйлера является мультипликативной [math] \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) [/math].
- 2. Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда
[math] \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})[/math].
- Доказательство: [math] \varphi (p) = p-1 [/math], p — простое несложно понять, что [math] \varphi (p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}[/math]. Отсюда по мультипликативности [math] \varphi (a) = (p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1-1}) (p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2-1}) \ldots (p_k^{\alpha_k} - p_k^{\alpha_k-1})[/math], выносим из каждой скобки [math] p_i^{\alpha_i}[/math], получаем [math] \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})[/math].
