Изменения

Числитель и знаменатель цепной дроби можно записать в виде полиномов от переменных <tex>a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n</tex>. При этом, поскольку числитель каждой == Цепные дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей и знаменателей имеют одинаковый вид.Таким образом, цепная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle </tex> представима в виде <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}} некоторый полином от<tex>n+1</tex> переменной. {{Лемма|id=lemma1|about=1|statement=<tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] рациональных чисел = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.|proof=<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]Main|Связь цепных дробей и алгоритма Евклида}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Следовательно <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид.}} {{Лемма|id=lemma2|about=2|statement=В <tex>[a_0,\cdotsКроме того, a_n]</tex> {{---}} полином от последовательность <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.|proof='''База'''. При <tex>n=0</tex>: <tex>[a_0] = a_0</tex> {{---}} полином от одной переменной с одним мономом. <tex>[a_0, a_1] = a_0 a_1 + 1a_i</tex> {{---}} два монома.'''Переход'''. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> монома. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+2}</tex> монома.<tex>[a_0,\cdotsэто ровно та последовательность частных, a_{n+1}] = a_0которая получается при применении [a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет мономов, содержащих <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+2}</tex> слагаемых.}}{{Теорема|id=theorem1 алгоритм Евклида|about=1|statement=<tex>[a_0, a_1, \cdots, a_nалгоритма Евклида] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>|proof=База: <tex>[a_0] = a_0 = [a_0]</tex>Пусть верно для всех <tex>m < n </tex>. Докажем для <tex>n</tex>к числителю и знаменателю дроби.

== Цепные дроби как приближение к числу =={{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>a_i</tex>[a_0, a_1удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, a_2последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,alpha-\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] = a_0(a_1[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]+[a_3, a_4, a_5\cdots, a_n])+[a_2, a_3, a_4,frac{P_i}{Q_i}| < \cdots, a_n]=(a_0a_1+frac{1)[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] + a_0[a_3, a_4, a_5\cdots, a_n] = [a_0, a_1][a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] + [a_0][a_3, a_4, a_5\cdots, a_n]}{Q_i^2}</tex>.

Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : == Периодичность цепных дробей =={{Main|Периодичность цепных дробей}}<tex>Цепная дробь [a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n[квадратичная иррациональность|квадратичной иррациональности] = [a_0, \cdots, a_k][a_{k+1{---}}периодична,\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {{k-1--}][a_{k+2}, \cdots, a_n]</tex>чисто периодична.

Докажем для больших == Примеры разложения чисел в цепные дроби ==* <tex> k \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle</tex>* <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex> :

== Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex> [\langle a_0, \cdotsa_1, a_k][a_{k+1}a_2,\cdots, a_n]+\rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0,\cdotsa_1, a_{k-1}][a_{k+2}a_2, \cdots, a_n] = }{[a_0a_1, \cdotsa_2, a_k](a_{k+1}[a_{k+2}a_3, \cdots, a_n]+[a_{k+3}</tex>, \cdots, a_n])+где <tex>[a_0,\cdotsa_1, a_{k-1}][a_{k+2}a_2, \cdots, a_n] = (a_</tex> {k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1--}])[a_{k+2}, \cdots, a_n]некоторый полином от <tex>n+[a_0, \cdots, a_k][a_{k+3}, \cdots, a_n]1</tex>переменной.

Используя условие теоремы для Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:* <tex>k [a_0,\cdots, a_n]< /tex> {{---}} полином от <tex>n-+1</tex> получаем : переменной, состоящий из <tex> a_F_{kn+1}</tex> мономов.* <tex>[a_0, \cdotsa_1, a_k] + [a_0a_2,\cdots, a_{k-1}a_n] = a_{k+1}a_0[a_ka_1, \cdotsa_2, a_0] + [a_{k-1}a_3, \cdots, a_0a_n] = + [a_{k+1}a_2,\cdotsa_3, a_0] = [a_0a_4, \cdots, a_{k+1}a_n]</tex>. Следовательно получаем :  * <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, a_1, \cdots, a_{n-21}][a_{n-1}, a_n]+[a_0, a_1,\cdots, a_{n-32}]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-21}, \cdots, a_0](a_</tex>Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n = P_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_P_{n-32}, \cdots, a_0]</tex>* <tex>Q_n =a_n[a_Q_{n-1},\cdots, a_0] a_n + [a_Q_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.}} {{Лемма|id=lemma3|about=3|statement=* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_P_nQ_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_-P_{n-21}, a_Q_n=(-1)^{n-+1}]</tex>.|proof=Эта формула аналогична формуле из [[#lemma1|Леммы 1]], за исключением того, что <tex>a_n</tex> "отщепляются" с другого конца.Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты [[#lemma1|Леммы 1]] и [[#theorem1|Теоремы 1]].}}