Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 10 промежуточных версий 2 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|author=Лагранж
 
 
|statement=
 
|statement=
Число<tex>\alpha</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность.
+
Период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>.
+
Рассмотрим <tex>\alpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
  
<tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle</tex>, тогда введём <tex>\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle</tex>. Тогда <tex>\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle</tex>. <tex>\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0</tex>  
+
Рассмотрим <tex>\sqrt{d}+[\sqrt{d}]</tex> - приведённая. Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta</tex>. Отсюда <tex>\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle</tex>. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
 
}}
 
}}
 +
[[Категория:Теория чисел]]
 +
 +
[[Категория: В разработке]]

Текущая версия на 23:13, 17 января 2012

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

  • число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
  • [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
  • [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].
Теорема:
Период цепной дроби [math]\sqrt{d}[/math] состоит из симметричной части [math]a_1,\cdots, a_n[/math] и [math]2a_0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\alpha[/math] - приведённая и [math]\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}[/math]. Так как [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}[/math], то [math]\beta=\lt a_n,\cdots, a_0,\cdots[/math].

Рассмотрим [math]\sqrt{d}+[\sqrt{d}][/math] - приведённая. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta[/math]. Отсюда [math]\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle[/math]. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
[math]\triangleleft[/math]