Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|author=Лагранж
 
 
|statement=
 
|statement=
Число<tex>\alpha</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность.
+
Период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>.
+
Рассмотрим <tex>\alpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
  
<tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle</tex>, тогда введём <tex>\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle</tex>. Тогда <tex>\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle</tex>. <tex>\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0</tex>  
+
Рассмотрим <tex>\sqrt{d}+[\sqrt{d}]</tex> - приведённая. Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta</tex>. Отсюда <tex>\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle</tex>. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
Поэтому <tex>\alpha_k</tex> квадратичная иррациональность, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что <tex>\alpha = \frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>. Поэтому и <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность.
+
}}
 +
[[Категория:Теория чисел]]
  
<tex>\Leftarrow</tex>.
+
[[Категория: В разработке]]
 
 
Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>. Подставим в уравнение и заменим коэффициенты <tex>A_k\alpha_k^2+B_k\alpha_k+C_k=0</tex>. Где <tex>A_k=aP_k^2+bP_kQ_k+cQ_k^2</tex>, <tex>B_k=2aP_kP_{k-1}+bP_{k-1}Q_k+bP_kQ_{k-1}+2cQ_kQ_{k-1}</tex> и <tex>C_k=aP_{k-1}^2+bP_{k-1}Q_{k-1}+cQ_{k-1}^2</tex>. Вычислим и упростим дискриминант и получим: <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac</tex>.
 
 
 
Ограничим <tex>A_k,B_k,C_k</tex>. По тому, что <tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|<\frac{1}{Q_k^2}</tex> имеем <tex>\frac{P_k}{Q_k}=\alpha-\frac{\epsilon}{Q_k^2},\epsilon\in(-1;1)</tex>.
 
Отсюда <tex>\frac{A_k}{Q_k^2}=a(\frac{P_k}{Q_k})^2+b(\frac{P_k}{Q_k})+c=a\alpha^2+b\alpha+c-2a\alpha\frac{\epsilon}{Q_k^2}+a\frac{\epsilon^2}{Q_k^4}-b\frac{\epsilon}{Q_k^2}</tex>. Отсюда <tex>A_k=-2a\alpha\epsilon+a\epsilon-b\epsilon\Rightarrow~|A_k|\leqslant~|2a\alpha|+~|a|+~|b|</tex>. Далее <tex>C_k = A_{k-1}</tex>, значит тоже ограничено. Теперь <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac\Rightarrow B_k^2\leqslant 4~|A_kC_k|+~|b^2-4ac|<4(2~|a\alpha|+~|a|+|b|)^2+~|b^2-4ac|</tex>. То есть коэффициенты ограничены, но <tex>k</tex> принимает бесконечное число значений, значит <tex>\exists i,j:\alpha_i=\alpha_j; i>j</tex> значит цепная дробь периодична.
 
}}
 

Текущая версия на 23:13, 17 января 2012

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

  • число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
  • [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
  • [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].
Теорема:
Период цепной дроби [math]\sqrt{d}[/math] состоит из симметричной части [math]a_1,\cdots, a_n[/math] и [math]2a_0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\alpha[/math] - приведённая и [math]\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}[/math]. Так как [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}[/math], то [math]\beta=\lt a_n,\cdots, a_0,\cdots[/math].

Рассмотрим [math]\sqrt{d}+[\sqrt{d}][/math] - приведённая. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta[/math]. Отсюда [math]\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle[/math]. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
[math]\triangleleft[/math]