Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
 
|item1=Надо доказать, что период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из '''симметричной''' части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>.
 
|item2=(Замечание) Теорему Лагранжа я перенес в другую статью. Ее сюда не надо добавлять :)
 
}}
 
 
 
Рассмотрим число <tex>\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}</tex>. Заметим, что оно приведённое <tex>\alpha>1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)</tex>.
 
Рассмотрим число <tex>\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}</tex>. Заметим, что оно приведённое <tex>\alpha>1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)</tex>.
 
Тогда сразу следуют следующие утверждения
 
Тогда сразу следуют следующие утверждения
Строка 9: Строка 4:
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>
 +
|proof=
 +
Рассмотрим <tex>\alpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
  
 +
Рассмотрим <tex>\sqrt{d}+[\sqrt{d}]</tex> - приведённая. Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta</tex>. Отсюда <tex>\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle</tex>. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
 +
}}
 
[[Категория:Теория чисел]]
 
[[Категория:Теория чисел]]
 +
 +
[[Категория: В разработке]]

Текущая версия на 23:13, 17 января 2012

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

  • число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
  • [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
  • [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].
Теорема:
Период цепной дроби [math]\sqrt{d}[/math] состоит из симметричной части [math]a_1,\cdots, a_n[/math] и [math]2a_0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\alpha[/math] - приведённая и [math]\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}[/math]. Так как [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}[/math], то [math]\beta=\lt a_n,\cdots, a_0,\cdots[/math].

Рассмотрим [math]\sqrt{d}+[\sqrt{d}][/math] - приведённая. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta[/math]. Отсюда [math]\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle[/math]. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
[math]\triangleleft[/math]