Редактирование: Циклическое пространство графа

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
__TOC__
+
Существует несколько определений циклического пространства графа.
== Циклическое пространство графа ==
 
Пусть <tex> m = |E(G)| </tex>, <tex> n = |V(G)| </tex>, <tex> k </tex> {{---}} количество компонент связности <tex> G </tex>.
 
  
<tex> B^t </tex> {{---}} линейное пространство, элементами которого являются <tex> t </tex>-мерные двоичные вектора и их сложение определено, как сложение по модулю <tex> 2 </tex>.  
+
== Определение 1 ==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Циклическое пространство графа''' —  семейство множеств реберно непересекающихся циклов. <tex> C = \{ P | P \subset C_0, \forall a, b \in P \ a \ne b : a \cup b = \emptyset \} </tex>, где <math>C_0</math> — множество всех циклов графа.
 +
}}
 +
 
 +
== Определение 2 ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
'''Циклическое пространство графа''' (англ. ''cyclic graph space'') {{---}} <tex> C = \operatorname {Ker}(I) </tex>, где <tex> I : B^m \rightarrow B^n </tex> {{---}} линейный оператор, сопоставленный матрице инцидентности <tex> A </tex> графа <tex> G </tex>.
+
'''0-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}v_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, v_{i} \in V</tex>, где <tex> V</tex> — множество вершин графа.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''1-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}e_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, e_{i} \in E</tex>, где Е — множество ребер графа.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Граничный оператор <tex>\delta</tex>''' — линейный оператор,сопоставляющий 1-цепи 0-цепь таким образом, что если e = (u, v) то <tex>\delta e = u + v</tex>. Сложение производится по модулю два. Результат действия граничного оператора на 1-цепь называется границей 1-цепи. Таким образом, границей 1-цепи является сумма вершин инциндентных нечетному числу ребер из 1-цепи.
 
}}
 
}}
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
'''Обобщенный цикл графа <tex> G </tex>''' (англ. ''generalized graph cycle'') {{---}} элемент линейного пространства <tex>C </tex>
+
'''Циклический вектор''' — 1-цепь с границей 0.
 +
}}
 +
{{
 +
|definition =
 +
'''Циклическое пространство графа''' — пространство образованное множеством всех циклических векторов над полем <tex>F_2</tex> = {0,1}.
 +
}}
 +
== Эквивалентность определений ==
 +
{{Теорема
 +
|statement =
 +
Определения 1 и 2 эквивалентны.
 +
|proof =
 +
* <tex>1 \rightarrow 2</tex>
 +
Рассмотрим множество <tex> Z </tex> реберно непересекающихся циклов. 1-цепь <tex>\sigma</tex> состоящая из всех ребер из <tex>Z</tex>.
 +
имеет границу 0, так как для любого ребра <tex>e_{i} = (u_{i}, v_{i})\in Z \ u_{i}, v_{i}</tex> встречаются в <tex>\delta\sigma </tex> четное число раз.
 +
* <tex>2 \rightarrow 1</tex>
 +
Рассмотрим 1-цепь <tex>\sigma</tex>. Из того, что граница <tex>\sigma</tex> равна 0 следует, что для любого <tex>e = (u, v) \in \sigma </tex> u и v встречаются в <tex>\delta \sigma </tex> четное число раз. Значит <math>\sigma</math> можно разбить на дизъюнктные подмножества <tex>E_1,..., E_{i},</tex> такие, что путь состоящий из <tex>u_1, e_1, v_1,...,u_{k}, e_{k}, v_{k}</tex>, где <tex>e_{k} =(u_{k}, v_{k})  \in E_{i}</tex> является циклом. Так как каждое ребро графа встречается не более одного раза, значит эти циклы будут реберно непересекающимися.
 
}}
 
}}
  
 
+
== Свойства ==
 +
{{Теорема
 +
|statement =
 +
Циклическое пространство графа линейно.
 +
|proof =
 +
В циклическом пространстве графа задано сложение по модулю два.
 +
Нейтральным элементом относительно сложения является пустой граф.
 +
Любой элемент циклического пространства сам себе противоположен.
 +
Отсюда выполнение восьми условий линейности очевидно.
 +
}}
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|id = lemma1
+
|statement =
|statement=
+
Степени всех вершин всех циклов циклического пространства четны.
Пространство <tex> C </tex> изоморфно <tex> T </tex>, где <tex> T </tex>{{---}} пространство, элементами которого являются наборы [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_edge_1 | ребер]], из которых можно составить несколько простых реберно непересекающихся [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_cycle_1 | циклов]].
+
|proof =
|proof=
+
Рассмотрим циклический вектор <tex>\sigma</tex>. Если степень какой-то вершины нечетна то в <tex>\delta \sigma</tex> она входит нечетное число раз, значит <tex>\delta \sigma</tex> не равно 0, что противоречит определению циклического вектора.
Рассмотрим <tex> x \in  C </tex>.  
 
 
 
Рассмотрим граф <tex> G_1(V_1,E_1) </tex>, где <tex>  E_1 </tex> {{---}} множество ребер, таких, что на соответствующих местах вектора <tex> x </tex> стоят единицы, а <tex> V_1 = V(G) </tex> .
 
 
 
В силу определения обобщенного цикла: <tex> \forall v  : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 </tex>.
 
 
 
Покажем по индукции, что <tex> G </tex> можно декомпозировать  на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Ведем индукцию по числу ребер.
 
База индукции <tex> |E_1(G)|=0 </tex> очевидно выполняется.   
 
Рассмотрим <tex> G_1 </tex>. <tex>  \forall v  : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 \Rightarrow |E_1(G)| > |V(G)| - 1 \Rightarrow  </tex> существует цикл, добавим его в декомпозицию, удалим ребра, принадлежащие ему. В силу того, что четность степеней вершин не изменилась, по предположению индукции декомпозируем оставшийся граф.
 
 
 
Отсюда следует, что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра, которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.
 
 
 
Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов некоторого графа <tex>G</tex> и взять все ребра, принадлежащие этим циклам, то им можно сопоставить обобщенный цикл, поставив <tex> 1 </tex> в соответствующие места <tex> x </tex>, во все остальные <tex> 0 </tex>.
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement = Если <tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл, соответствующий простому циклу <tex>C'</tex> графа <tex>G</tex>, то <tex>I(\textbf{C}) = 0</tex>
 
|proof=Пусть <tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл из условия, а <tex>C'</tex> {{---}} соответствующий ему простой цикл.
 
Тогда <tex>I(\textbf{C}) = \bigoplus\limits_{e \in C'}c(e)</tex>, где <tex>c(e)</tex>{{---}} столбец в [[Матрица_инцидентности_графа | матрице инцидентности графа]] <tex>G</tex>, соответствующий ребру <tex>e</tex>. Так как каждая вершина в <tex>C'</tex> имеет степень <tex> 2 </tex>, то для любого <tex>i \in \overline{0, |VG| - 1}</tex> верно <tex>|\{e \in C': c(e)_i = 1\}| = 2</tex>, а значит <tex>I(\textbf{C})_i = 1 \oplus 1 = 0</tex>. Таким образом <tex>I(\textbf{C}) = 0</tex>. }}
 
 
 
В силу линейности оператора <tex> I </tex>  и того, что <tex>I( </tex> простой цикл <tex> )=0 </tex>, получаем что <tex> Ix=0 </tex>
 
 
}}
 
}}
 
== Размерность линейного пространства обобщенных циклов ==
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=
+
|statement =
<tex> \operatorname {dim}(C) = m - n + k </tex>
+
Размерность циклического пространства равна m - n + k, где m - число ребер графа, n - число вершин, k - число компонент связности.
|proof=
+
|proof =
<tex> \operatorname {dim}(C)=\operatorname {dim}(\operatorname {Ker}(I))=m-\operatorname {Rang}(A) </tex>, где <tex> \operatorname {Rang}(A) </tex> {{---}} максимальное количество ЛНЗ столбцов <tex> A </tex>. Если рассмотреть простой цикл <tex>C</tex> в <tex> G </tex>, то сумма столбцов соответствующих этим ребрам равна <tex>0</tex>, т. к. значение оператора <tex>I</tex> на  соответствующем обобщенном цикле в точности равно сумме этих столбцов. Значит, эти столбцы ЛЗ. Отсюда следует, что если любому множеству ребер, содержащих цикл, в соответствие сопоставить набор столбцов из <tex> A </tex>, то он будет ЛЗ
+
Из теоремы о том, что множество [[Фундаментальные циклы графа|фундаментальных циклов]] относительно любого каркаса T графа G образует базис циклического пространства G следует что размерность циклического пространства равна числу ребер не входящих в каркас. Каркас содержит n - k ребер, значит размерность циклического пространства равна m - n + k.
 
 
{{Утверждение
 
|statement=Если подмножество ребер из <tex>G</tex> не содержит цикл, то набор соответствующих столбцов из <tex>A</tex> ЛНЗ.  
 
|proof=
 
Пусть он ЛЗ, значит существует равная нулю линейная комбинация столбцов, где не все коэффициенты равны нулю. Возьмем столбцы, коэффициенты при которых не нулевые, тогда их линейная комбинация образует <tex>x \in C</tex>, а значит соответствующие столбцам ребра разбиваются на простые циклы и исходное множество ребер содержало цикл. Противоречие. }}
 
 
 
Максимальное число ребер, которые мы можем выделить из G и которые не содержат цикл равно <tex> n - k </tex> (в каждой компоненте связности выделим остовное дерево).
 
Итого: <tex> \operatorname {dim}(C)=m - n + k </tex>
 
 
}}
 
}}
 
+
== Литература ==
== Применение ==
+
Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4.
Циклическое пространство графа позволяет доказать некоторые теоремы из теории графов, а также описать условия существования отдельных подвидов графа. В частности, благодаря введенному понятию, можно доказать необходимое и достаточное условие планарности графа<ref>[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf  Карпов В.Д. Теория графов - с.281 - Применения циклического пространства графа]</ref>.
 
 
 
== См. также ==
 
*[[Линейный_оператор|Линейный оператор]]
 
 
 
*[[Ядро_и_образ_линейного_оператора|Ядро и образ линейного оператора]]
 
 
 
== Примечания ==
 
<references/>
 
 
 
== Источники информации ==
 
*Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4
 
 
 
*Карпов В.Д. Теория графов - с.281
 
 
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)