Циклическое пространство графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
 
(не показано 65 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
__TOC__
 +
== Циклическое пространство графа ==
 
Пусть <tex> m = |E(G)| </tex>, <tex> n = |V(G)| </tex>, <tex> k </tex> {{---}} количество компонент связности <tex> G </tex>.
 
Пусть <tex> m = |E(G)| </tex>, <tex> n = |V(G)| </tex>, <tex> k </tex> {{---}} количество компонент связности <tex> G </tex>.
  
<tex> B^k </tex> {{---}} линейное пространство элементами которого являются <tex> k </tex>{{---}}мерные двоичные вектора и их сложение определено как сложение по модулю <tex> 2 </tex>.  
+
<tex> B^t </tex> {{---}} линейное пространство, элементами которого являются <tex> t </tex>-мерные двоичные вектора и их сложение определено, как сложение по модулю <tex> 2 </tex>.  
  
Рассмотрим матрицу инцидентности <tex> A(G) </tex>.
 
 
Сопоставим ей линейный оператор <tex> I : R^m \rightarrow R^n </tex>
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
'''Циклическое пространство графа''' <tex>  C = Ker(I) </tex>
+
'''Циклическое пространство графа''' (англ. ''cyclic graph space'') {{---}} <tex>  C = \operatorname {Ker}(I) </tex>, где <tex> I : B^m \rightarrow B^n </tex> {{---}} линейный оператор, сопоставленный матрице инцидентности <tex> A </tex> графа <tex> G </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
'''Обобщенный цикл графа G''' - элемент линейного пространства <tex> C </tex>
+
'''Обобщенный цикл графа <tex> G </tex>''' (англ. ''generalized graph cycle'') {{---}} элемент линейного пространства <tex>C </tex>
 
}}
 
}}
  
 +
 +
{{Лемма
 +
|id = lemma1
 +
|statement=
 +
Пространство <tex> C </tex> изоморфно <tex> T </tex>, где <tex> T </tex>{{---}} пространство, элементами которого являются наборы [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_edge_1 | ребер]], из которых можно составить несколько простых реберно непересекающихся [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_cycle_1 | циклов]].
 +
|proof=
 
Рассмотрим <tex> x \in  C </tex>.  
 
Рассмотрим <tex> x \in  C </tex>.  
  
Рассмотрим граф <tex> G_1(V_1,E_1) </tex> где <tex>  E_1 </tex> {{---}} множество ребер, таких что на соответствующих местах вектора <tex> x </tex> стоят единиц, а <tex> V_1 </tex> {{---}} <tex> V(G) </tex> .
+
Рассмотрим граф <tex> G_1(V_1,E_1) </tex>, где <tex>  E_1 </tex> {{---}} множество ребер, таких, что на соответствующих местах вектора <tex> x </tex> стоят единицы, а <tex> V_1 = V(G) </tex> .
 +
 
 +
В силу определения обобщенного цикла: <tex> \forall v  : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 </tex>.
 +
 
 +
Покажем по индукции, что <tex> G </tex> можно декомпозировать  на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Ведем индукцию по числу ребер.
 +
База индукции <tex> |E_1(G)|=0 </tex> очевидно выполняется.   
 +
Рассмотрим <tex> G_1 </tex>. <tex>   \forall v  : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 \Rightarrow |E_1(G)| > |V(G)| - 1 \Rightarrow  </tex> существует цикл, добавим его в декомпозицию, удалим ребра, принадлежащие ему. В силу того, что четность степеней вершин не изменилась, по предположению индукции декомпозируем оставшийся граф.
  
В силу определения обобщенного цикла <tex> \forall v  : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0(mod~2) </tex>.
+
Отсюда следует, что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра, которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.  
  
Значит <tex> G </tex> можно декомпозировать  на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Отсюда следует что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.  
+
Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов некоторого графа <tex>G</tex> и взять все ребра, принадлежащие этим циклам, то им можно сопоставить обобщенный цикл, поставив <tex> 1 </tex> в соответствующие места <tex> x </tex>, во все остальные <tex> 0 </tex>.  
  
Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов и взять все ребра принадлежащие этим циклам то им можно сопоставить обобщенный цикл(в соответствующие места поставить <tex> 1 </tex> , во все остальные <tex> 0 </tex>).
+
{{Утверждение
 +
|statement = Если <tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл, соответствующий простому циклу <tex>C'</tex> графа <tex>G</tex>, то <tex>I(\textbf{C}) = 0</tex>
 +
|proof=Пусть <tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл из условия, а <tex>C'</tex> {{---}} соответствующий ему простой цикл.
 +
Тогда <tex>I(\textbf{C}) = \bigoplus\limits_{e \in C'}c(e)</tex>, где <tex>c(e)</tex>{{---}} столбец в [[Матрица_инцидентности_графа | матрице инцидентности графа]] <tex>G</tex>, соответствующий ребру <tex>e</tex>. Так как каждая вершина в <tex>C'</tex> имеет степень <tex> 2 </tex>, то для любого <tex>i \in \overline{0, |VG| - 1}</tex> верно <tex>|\{e \in C': c(e)_i = 1\}| = 2</tex>, а значит <tex>I(\textbf{C})_i = 1 \oplus 1 = 0</tex>. Таким образом <tex>I(\textbf{C}) = 0</tex>. }}
  
Отсюда следует что <tex> C </tex> изоморфно пространству <tex> T </tex>, элементами которого являются множества ребер из которых можно составить несколько реберно непересекающихся простых циклов.
+
В силу линейности оператора <tex> I </tex>  и того, что <tex>I( </tex> простой цикл <tex> )=0 </tex>, получаем что <tex> Ix=0 </tex>
 +
}}
  
 
== Размерность линейного пространства обобщенных циклов ==
 
== Размерность линейного пространства обобщенных циклов ==
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> dim(C) = m - n + k </tex>
+
<tex> \operatorname {dim}(C) = m - n + k </tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \operatorname {dim}(C)=\operatorname {dim}(\operatorname {Ker}(I))=m-\operatorname {Rang}(A) </tex>, где <tex> \operatorname {Rang}(A) </tex> {{---}} максимальное количество ЛНЗ столбцов <tex> A </tex>. Если рассмотреть простой цикл <tex>C</tex> в <tex> G </tex>, то сумма столбцов соответствующих этим ребрам равна <tex>0</tex>, т. к. значение оператора <tex>I</tex> на  соответствующем обобщенном цикле в точности равно сумме этих столбцов. Значит, эти столбцы ЛЗ. Отсюда следует, что если любому множеству ребер, содержащих цикл, в соответствие сопоставить набор столбцов из <tex> A </tex>, то он будет ЛЗ
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Если подмножество ребер из <tex>G</tex> не содержит цикл, то набор соответствующих столбцов из <tex>A</tex> ЛНЗ.
 
|proof=
 
|proof=
<tex> dim(C)=dim(Ker(i))=m-Rang(A) </tex> , где <tex> Rang(A) = </tex> {{---}} максимальное количество ЛНЗ столбцов <tex> A </tex>. Если рассмотреть цикл в <tex> G </tex> то набор столбцов соответствующий ребрам в этом цикле ЛЗ. Отсюда следует, если любому множеству ребер содержащих цикл в соответствие сопоставить набор столбцов  из <tex> A </tex> то он ЛЗ. Если же множество ребер не содержит цикл то набор ЛНЗ(если бы он был ЛЗ, тогда бы существовал  <tex> x \in C </tex> который соответствует некоторому подмножеству данного набора ребер, значит из набора ребер можно выделить цикл, противоречие). Максимальное число ребер которые мы можем выделить из G и которые не содержат цикл {{---}} <tex> n - k </tex>(в каждой компоненте связности выделим цикл).  
+
Пусть он ЛЗ, значит существует равная нулю линейная комбинация столбцов, где не все коэффициенты равны нулю. Возьмем столбцы, коэффициенты при которых не нулевые, тогда их линейная комбинация образует <tex>x \in C</tex>, а значит соответствующие столбцам ребра разбиваются на простые циклы и исходное множество ребер содержало цикл. Противоречие. }}
Итого: dim(C)=m - n + k
+
 
 +
Максимальное число ребер, которые мы можем выделить из G и которые не содержат цикл равно <tex> n - k </tex> (в каждой компоненте связности выделим остовное дерево).  
 +
Итого: <tex> \operatorname {dim}(C)=m - n + k </tex>
 
}}
 
}}
  
== Литература ==
+
== Применение ==
Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4.
+
Циклическое пространство графа позволяет доказать некоторые теоремы из теории графов, а также описать условия существования отдельных подвидов графа. В частности, благодаря введенному понятию, можно доказать необходимое и достаточное условие планарности графа<ref>[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf  Карпов В.Д. Теория графов - с.281 - Применения циклического пространства графа]</ref>.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
*[[Линейный_оператор|Линейный оператор]]
 +
 
 +
*[[Ядро_и_образ_линейного_оператора|Ядро и образ линейного оператора]]
 +
 
 +
== Примечания ==
 +
<references/>
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
*Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4
 +
 
 +
*Карпов В.Д. Теория графов - с.281
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Текущая версия на 22:08, 20 октября 2016

Циклическое пространство графа[править]

Пусть [math] m = |E(G)| [/math], [math] n = |V(G)| [/math], [math] k [/math] — количество компонент связности [math] G [/math].

[math] B^t [/math] — линейное пространство, элементами которого являются [math] t [/math]-мерные двоичные вектора и их сложение определено, как сложение по модулю [math] 2 [/math].


Определение:
Циклическое пространство графа (англ. cyclic graph space) — [math] C = \operatorname {Ker}(I) [/math], где [math] I : B^m \rightarrow B^n [/math] — линейный оператор, сопоставленный матрице инцидентности [math] A [/math] графа [math] G [/math].


Определение:
Обобщенный цикл графа [math] G [/math] (англ. generalized graph cycle) — элемент линейного пространства [math]C [/math]


Лемма:
Пространство [math] C [/math] изоморфно [math] T [/math], где [math] T [/math]— пространство, элементами которого являются наборы ребер, из которых можно составить несколько простых реберно непересекающихся циклов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] x \in C [/math].

Рассмотрим граф [math] G_1(V_1,E_1) [/math], где [math] E_1 [/math] — множество ребер, таких, что на соответствующих местах вектора [math] x [/math] стоят единицы, а [math] V_1 = V(G) [/math] .

В силу определения обобщенного цикла: [math] \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 [/math].

Покажем по индукции, что [math] G [/math] можно декомпозировать на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Ведем индукцию по числу ребер. База индукции [math] |E_1(G)|=0 [/math] очевидно выполняется. Рассмотрим [math] G_1 [/math]. [math] \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 \Rightarrow |E_1(G)| \gt |V(G)| - 1 \Rightarrow [/math] существует цикл, добавим его в декомпозицию, удалим ребра, принадлежащие ему. В силу того, что четность степеней вершин не изменилась, по предположению индукции декомпозируем оставшийся граф.

Отсюда следует, что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра, которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.

Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов некоторого графа [math]G[/math] и взять все ребра, принадлежащие этим циклам, то им можно сопоставить обобщенный цикл, поставив [math] 1 [/math] в соответствующие места [math] x [/math], во все остальные [math] 0 [/math].

Утверждение:
Если [math]\textbf{C}[/math] — обобщенный цикл, соответствующий простому циклу [math]C'[/math] графа [math]G[/math], то [math]I(\textbf{C}) = 0[/math]
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\textbf{C}[/math] — обобщенный цикл из условия, а [math]C'[/math] — соответствующий ему простой цикл.

Тогда [math]I(\textbf{C}) = \bigoplus\limits_{e \in C'}c(e)[/math], где [math]c(e)[/math]— столбец в матрице инцидентности графа [math]G[/math], соответствующий ребру [math]e[/math]. Так как каждая вершина в [math]C'[/math] имеет степень [math] 2 [/math], то для любого [math]i \in \overline{0, |VG| - 1}[/math] верно [math]|\{e \in C': c(e)_i = 1\}| = 2[/math], а значит [math]I(\textbf{C})_i = 1 \oplus 1 = 0[/math]. Таким образом [math]I(\textbf{C}) = 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]
В силу линейности оператора [math] I [/math] и того, что [math]I( [/math] простой цикл [math] )=0 [/math], получаем что [math] Ix=0 [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Размерность линейного пространства обобщенных циклов[править]

Теорема:
[math] \operatorname {dim}(C) = m - n + k [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \operatorname {dim}(C)=\operatorname {dim}(\operatorname {Ker}(I))=m-\operatorname {Rang}(A) [/math], где [math] \operatorname {Rang}(A) [/math] — максимальное количество ЛНЗ столбцов [math] A [/math]. Если рассмотреть простой цикл [math]C[/math] в [math] G [/math], то сумма столбцов соответствующих этим ребрам равна [math]0[/math], т. к. значение оператора [math]I[/math] на соответствующем обобщенном цикле в точности равно сумме этих столбцов. Значит, эти столбцы ЛЗ. Отсюда следует, что если любому множеству ребер, содержащих цикл, в соответствие сопоставить набор столбцов из [math] A [/math], то он будет ЛЗ

Утверждение:
Если подмножество ребер из [math]G[/math] не содержит цикл, то набор соответствующих столбцов из [math]A[/math] ЛНЗ.
[math]\triangleright[/math]
Пусть он ЛЗ, значит существует равная нулю линейная комбинация столбцов, где не все коэффициенты равны нулю. Возьмем столбцы, коэффициенты при которых не нулевые, тогда их линейная комбинация образует [math]x \in C[/math], а значит соответствующие столбцам ребра разбиваются на простые циклы и исходное множество ребер содержало цикл. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Максимальное число ребер, которые мы можем выделить из G и которые не содержат цикл равно [math] n - k [/math] (в каждой компоненте связности выделим остовное дерево).

Итого: [math] \operatorname {dim}(C)=m - n + k [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Применение[править]

Циклическое пространство графа позволяет доказать некоторые теоремы из теории графов, а также описать условия существования отдельных подвидов графа. В частности, благодаря введенному понятию, можно доказать необходимое и достаточное условие планарности графа[1].

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]

  • Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4
  • Карпов В.Д. Теория графов - с.281