Изменения

'''Числа Стирлинга второго рода''' <math>\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}</math> (англ. ''stirling numbers of the second kind'') — количество способов разбиения множества из ''<tex>n'' </tex> элементов на ''<tex>k'' </tex> непустых подмножеств. Числа Стирлинга II рода обозначаются как <tex dpi="130">S(n,k)</tex> или <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>.

Например, существует == Пример ==Существует семь способов разбиения четырехэлементного множества на две части:

<mathtex>\{1,2,3\}\{4\} \qquad \{1,2\}\{3,4\}</mathtex>

<mathtex>\{1,2,4\}\{3\} \qquad \{1,3\}\{2,4\}</mathtex>

<mathtex>\{1,3,4\}\{2\} \qquad \{1,4\}\{2,3\}</mathtex>

<mathtex>\{2,3,4\}\{1\}</mathtex>

Следовательно, <mathtex dpi = "180">\lbrace{1,4\atop 2\}\{3,4\}rbrace</tex><tex> = 7</mathtex>.

Если задано множество из <mathtex>\{1,4\}\{2,3\}</math> Следовательно, <math>\begin{Bmatrix}4 \\2\end{Bmatrix} = 7n</mathtex> == Рекуррентная формула == Если задано множество из '''n''' элементов, которое необходимо разбить на '''<tex>k''' </tex> непустых частей, то последний элемент исходного множества можно либо поместить в отдельную часть(<mathtex dpi = "180">\beginlbrace{Bmatrix}n-1 \\atop k-1}\end{Bmatrix}rbrace</mathtex> способами), либо поместить его в некоторое подмножество (<mathtex>k</tex><tex dpi = "180">\beginlbrace{Bmatrix}n-1 \\atop k}\end{Bmatrix}rbrace</mathtex> способами, поскольку каждый из <mathtex dpi = "180">\beginlbrace{Bmatrix}n-1 \\atop k}\end{Bmatrix}rbrace</mathtex> способов распределения первых '''<tex>n-1''' </tex> элементов по '''<tex>k''' </tex> непустым частям дает '''<tex>k''' </tex> подмножеств, с которыми можно объединить последний элемент).

<mathtex>\begin{Bmatrix}

</mathtex><!--Чтобы доказать равносильность двух определений используем метод математической индукции.# <tex>x^0 = x^{\underline{0}} = 1</tex># предположим, что утверждение верно для некоторого <tex>k-1</tex>: <tex dpi = "150">x^{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1} \textstyle \lbrace{k-1\atop i}\rbrace x^{\underline{i}}</tex># докажем верность для <tex>k</tex>: -->

<!-- КРОВЬКИШКИТЕХ <tex dpi ="150">x^{k} = Начальные значения чисел Стирлинга второго рода x\sum_{i=0}^{k-1} \lbrace{k-1\atop i}\rbrace x^{\underline{i}} =\sum_{i=0}^{k-1} \lbrace{k-1\atop i}\rbrace x^{\underline{i}}(x-i+i) = \sum_{i=0}^{k-1} \lbrace{k-1\atop i}\rbrace (x^{\underline{i+1}}+ix^{\underline{i}}) = \sum_{i=0}^k \lbrace{k-1\atop i-1}\rbrace x^{\underline{i}}+\sum_{i=0}^k \lbrace{k-1\atop i}\rbrace ix^{\underline{i}} = \sum_{i=0}^k (\lbrace{k-1\atop i-1}\rbrace + i \lbrace{k-1\atop i}\rbrace)x^{\underline{i}} = \sum_{i=0}^k \lbrace{k\atop i}\rbrace x^{\underline{i}}</tex> -->

=== Таблица значений ==={| styleclass="wikitable" !width:400px; height:200px" border="120" !| n\k ! width="40"| 0 !width="40"| 1 !width="40"| 2 !width="40"| 3 !width="40"| 4 !width="40"| 5 !width="40"| 6 !width="40"| 7 !width="40"| 8 !width="40"| 9

|0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0

|0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0

|0 |0 |0 |0 |0 |0 |0

|0 |0 |0 |0 |0 |0

|0 |0 |0 |0 |0

|0 |0 |0 |0

|0 |0 |0

|0 |0

|0

* <mathtex dpi = "180">\lbrace{n+1\atop m+1}\rbrace = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \textstyle \lbrace{k\atop m}\rbrace</tex>*<tex dpi = "150">m!</tex><tex dpi = "180">\lbrace{n\atop m}\rbrace = \sum_{k=0}^n \binom{m}{k}</tex><tex dpi = "150"> k^n(-1)^{m-k}</tex> *<tex dpi = "180">\left \lbrack{n\atop k} \right \rbrack = \lbrace{-n\atop -k}\rbrace</tex>, <tex dpi = "150">n,k \in \mathbb{Z}</tex>, где <tex dpi = "180">\left \lbrack{n\atop k} \right \rbrack</tex> — [[Числа Стирлинга первого рода|число Стирлинга первого рода]] *<tex dpi = "180">\sum \limits_{k=0}^n \lbrace{n\atop k}\rbrace = B_n</tex>, где <tex dpi = "180">B_n</tex> — число Белла (число всех неупорядоченных разбиений ''n''-элементного множества) == Применения ==* Пусть дано множество из <tex>k</tex> [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|элементарных исходов]] (все исходы равновероятны). Вероятность того, что после <tex>n</tex> проведенных экспериментов каждое событие произойдет хотя бы один раз, может быть найдена по следующей формуле:<tex dpi = "150">P = </tex><tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace {k! \over{k^n}}</tex> * <tex dpi = "180">\lbrace{n+1\atop k+1}\rbrace</tex> — количество наборов из <tex>k</tex> попарно непересекающихся подмножеств исходного множества <tex>\{1,2, \dots ,n\}</tex>. Например, <tex dpi = "180">\lbrace{4\atop 3}\rbrace</tex><tex dpi = "130"> = 6</tex>, так как всего шесть наборов из двух непересекающихся подмножеств множества <tex>\{1,2,3\}</tex>: <tex>\{(1)(23)\},\{(12)(3)\}, \{(13)(2)\}, \{(1)(2)\}, \{(1)(3)\}, \{(2)(3)\}</tex>.  * Обозначим как <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d</tex> количество всех способов разбиений множества <tex>n</tex> натуральных чисел на <tex>k</tex> подмножеств, в которых расстояния между двумя любыми элементами <tex>i</tex>, <tex>j</tex> не меньше <tex>d</tex> <tex>(|i-j| \geqslant d)</tex>. Тогда <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d = \lbrace{n-d+1\atop k-d+1}\rbrace,</tex><tex dpi = "150"> n \geqslant k \geqslant d</tex> * Также числа Стирлинга II рода можно определить как коэффициенты в разложении обычных степеней на факториальные: <tex dpi = "150">x^n = \sum_sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} = \sum_sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace (-1)^{n-k} x^{\overline{k}}</mathtex>, где <mathtex dpi = "150">x^{\underline{k}} = x\cdot (x-1)\cdot \ldots\cdot (x-k+1)</mathtex> — убывающий факториал, <mathtex dpi = "150">x^{\overline{k}} = x\cdot (x+1)\cdot \ldots\cdot (x+k-1)</mathtex> — возрастающий факториал.См. также [[Числа Стирлинга первого рода#Связь между числами Стирлинга | связь между числами Стирлинга]]. == Переход от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней =={{Теорема|statement=Числа Стирлинга II рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней.|proof=<tex dpi = "150">x^{\underline{k+1}}=x^{\underline{k}}(x-k)</tex>, отсюда <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{k}}=x^{\underline{k+1}}+kx^{\underline{k}}</tex>, следовательно, <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{n-1}}</tex> есть <br> <br> <tex dpi = "150">x\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k}}=\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k+1}}+\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}=</tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace x^{\underline{k}}+\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}= </tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum \limits_{k=0}^n \textstyle (k\lbrace{n-1\atop k}\rbrace + \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace )x^{\underline{k}}=\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} </tex>}}

*<math> \textstyle \lbrace{n+1\atop m+1}\rbrace = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \textstyle \lbrace{k\atop m}\rbrace</math>См. также ==* [[Числа Стирлинга первого рода]]* [[Числа Эйлера I и II рода]]

*<math> m!\textstyle \lbrace{n\atop m}\rbrace = \sum_{k=0}^n \binomИсточники информации==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind Wikipedia {m}{k} k^n(-1)^{m-k-}<} Stirling numbers of the second kind]* [http://math>oeis.org/A008277 OEIS]* Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики.—М.:Мир, 1998.—с. 288.— ISBN 5-03-001793-3