Эвристики для поиска кратчайших путей

Материал из Викиконспекты
Версия от 19:58, 1 декабря 2013; Xottab (обсуждение | вклад) (Многоуровневые корзины(multi-level buckets, MLB))
Перейти к: навигация, поиск

Данная статья - перевод выступления Renato F. Werneck в Microsoft Data Structures and Algorithms School в 2010 году.

Проблема поиска кратчайшего пути

Дано:

  • ориентированный граф [math]G=(V,E)[/math]
  • [math]l(u,v) \geqslant 0[/math]
  • [math]|V|=n, |E|=m[/math]
  • отправная точка - вершина [math]s[/math], пункт назначения - вершина [math]t[/math]

Цель: найти кратчайший путь [math] s \rightsquigarrow t[/math]

Мы будем рассматривать сеть автомобильных дорог:

  • [math]V[/math] - множество перекрёстков
  • [math]E[/math] - множество дорог
  • [math]l(u,v)[/math] - среднее время, которое занимает проезд по дороге

Алгоритм Дейкстры

основная статья: Алгоритм Дейкстры

  • на каждом шаге выбирает из множества непросмотренных вершин вершину с наименьшим расстоянием до старта и релаксирует рёбра, исходящие из неё
  • завершает свою работу, когда цель достигнута (или просмотрены все вершины)

Скорость работы алгоритма Дейкстры сильно зависит от скорости операций с приоритетной очередью.

Поскольку мы рассматриваем сеть автомобильных дорог, то [math]m = O(n)[/math] (граф планарен почти везде).

Для фибоначчиевых куч время работы алгоритма составляет [math]O(V\log{V}+E)[/math], для двоичных куч: [math]O(E\log{V})[/math]

Но на практике чаще используются 2-, 4- и 8-ичные кучи: они более простые, оценка времени работы содержит меньшее количество скрытых констант.

Улучшения алгоритма Дейкстры

Многоуровневые корзины(multi-level buckets, MLB)

Multilevel buckets.jpg
Сравнение различных структур данных для поиска кратчайшего пути на карте Европы
Структура данных Время работы (сек)
Двоичная куча 12,38
4-куча 11,53
8-куча 11,52

Подходит только графов с целочисленными рёбрами.

  • Будем складывать вершины в "корзины" [math]B[i] \subset V: {d(u)=i} [/math]
  • Наша структура данных будет поддерживать индекс [math]L: \forall B[i]: i\lt L \Rightarrow B[i] = \emptyset [/math]
  • На каждом шаге алгоритма, если [math]B[L][/math] пусто, то увеличим [math]L[/math], а иначе достанем одну вершину из [math]B[L][/math]
  • При релаксации будем убирать вершину из исходной корзины и класть в корзину, соответствующую новому значению [math]dist(u)[/math]

Для одного уровня корзин время работы алгоритма Дейкстры можно оценить как [math]O(m+nC)[/math], где [math]C[/math] - максимальная длина ребра в графе.

При двухуровневой реализации будем поддерживать два уровня корзин: первый уровень будет соответствовать одноуровневой реализации, а корзины второго уровня будут содержать диапазон значений корзин первого уровня, которые в них входят.

Соответственно, нам нужно поддерживать два индекса [math]L_{top}[/math] и [math]L_{bottom}[/math] для каждого из уровней соответственно.

При такой реализации, время работы алгоритма Дейкстры можно оценить как [math]O(m+n(1+sqrt(C)))[/math]