Явление Гиббса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии 1 участника)
Строка 9: Строка 9:
 
С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа <tex>f(x) = \operatorname{sign} x</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке#Теорема Дини | теоремы Дини]] в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. <tex>f(x) </tex> {{---}} нечётная, значит, будет ряд только по синусам:
 
С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа <tex>f(x) = \operatorname{sign} x</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке#Теорема Дини | теоремы Дини]] в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. <tex>f(x) </tex> {{---}} нечётная, значит, будет ряд только по синусам:
  
<tex>s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt</tex> <tex>=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt</tex>
+
<tex>s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \overset{t:=-y}{\int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt}</tex> <tex>=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt</tex>
  
 
Итого: <tex>s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt</tex>
 
Итого: <tex>s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt</tex>
Строка 15: Строка 15:
 
<tex>D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}</tex>
 
<tex>D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}</tex>
  
<tex>n + \frac{-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right]</tex>
+
<tex>n + \frac{1-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right]</tex>
  
 
<tex>s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt</tex>
 
<tex>s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt</tex>
Строка 24: Строка 24:
 
<tex>s'_n(x_{m_n}) = 0</tex>, <tex>x_{m_n} = \frac\pi{m_n}</tex>, <tex>2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n</tex>
 
<tex>s'_n(x_{m_n}) = 0</tex>, <tex>x_{m_n} = \frac\pi{m_n}</tex>, <tex>2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n</tex>
  
Путём дифференциального исчисления проверяем, что <tex>m_n</tex> {{---}} точка максимума.  
+
Путём дифференциального исчисления проверяем, что <tex>x_{m_n}</tex> {{---}} точка максимума.  
  
<tex>s_n(m_n) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{mn}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=</tex> (заменим переменную на <tex>m_n t</tex>) <tex>= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt</tex>
+
<tex>s_n(x_{m_n}) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{m_n}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=</tex> (заменим переменную на <tex>m_n t</tex>) <tex>= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt</tex>
  
 
<tex> \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1</tex>, <tex>\frac{t}{\sin t}</tex> возрастает, значит, к этому интегралу применима [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега | теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла]]:
 
<tex> \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1</tex>, <tex>\frac{t}{\sin t}</tex> возрастает, значит, к этому интегралу применима [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега | теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла]]:
  
<tex>s_n(m_n) > s_{n+1}(m_{n+1})</tex>
+
<tex>s_n(x_{m_n}) > s_{n+1}(x_{m_{n+1}})</tex>
  
<tex>s_n(m_n) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots</tex>
+
<tex>s_n(x_{m_n}) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots</tex>
  
 
Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума <tex>>1</tex> и резко пойдёт в ноль. Явление {{---}} явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.
 
Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума <tex>>1</tex> и резко пойдёт в ноль. Явление {{---}} явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.

Текущая версия на 18:25, 26 июня 2012

<<>>

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Явление Гиббса — некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.


С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа [math]f(x) = \operatorname{sign} x[/math], [math]2\pi[/math]-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию теоремы Дини в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. [math]f(x) [/math] — нечётная, значит, будет ряд только по синусам:

[math]s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \overset{t:=-y}{\int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt}[/math] [math]=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt[/math] [math]=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt[/math] [math]= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}[/math] [math]= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)[/math] [math]=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}[/math] [math]=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt[/math]

Итого: [math]s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt[/math]

[math]D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}[/math]

[math]n + \frac{1-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right][/math]

[math]s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt[/math]

Продифференцируем по [math]x[/math]: [math]s'_n(x) = \frac2\pi \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]x}{\sin x}[/math], [math]x \in \langle 0; \pi\rangle[/math]

[math]s'_n(x_{m_n}) = 0[/math], [math]x_{m_n} = \frac\pi{m_n}[/math], [math]2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n[/math]

Путём дифференциального исчисления проверяем, что [math]x_{m_n}[/math] — точка максимума.

[math]s_n(x_{m_n}) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{m_n}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=[/math] (заменим переменную на [math]m_n t[/math]) [math]= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt[/math]

[math] \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1[/math], [math]\frac{t}{\sin t}[/math] возрастает, значит, к этому интегралу применима теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:

[math]s_n(x_{m_n}) \gt s_{n+1}(x_{m_{n+1}})[/math]

[math]s_n(x_{m_n}) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots[/math]

Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума [math]\gt 1[/math] и резко пойдёт в ноль. Явление — явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.

См. также[править]

Wikipedia — Gibbs phenomenon

<<>>