Изменения

[[File:kernel3_2kernel2_3.png|500px|thumb|right|Пример использования ядерного трюка]]'''Ядерный трюк'''(ангангл. ''kernel function'') метод в машинном обучении, позволяющий перевести элементы для случая линейной неразделимости в новое линейно разделимое пространство пространство. Такое пространство называют '''спрямляющим'''. Поскольку для любой непротиворечивой выборки соответствующее пространство большей размерности существует, главной проблемой становится его найти.

Поскольку для задачи линейного разделения объектов не требуется их признаковое описание, а достаточно скаляров, то можно заменить скалярное произведение == Описание =={{Определение|definition=Функция $\langle K(x,x'):X×X\ranglerightarrow \mathbb{R}$ на ядро называется '''ядром''' (англ. kernel), если она может быть представлена в виде $K(x,x')=\langle \varphi(x),\varphi(x')\rangle_H$ Более того, можно вообще не строить спрямляющее пространство при некотором отображении $\varphi(x):X\rightarrow H$ в явном виде, и вместо подбора отображения где $\varphiH$ заниматься непосредственно подбором ядра{{---}} пространство со скалярным произведением.}}

Поскольку для задачи линейного разделения объектов не требуется их признаковое описание, а достаточно скаляров, то можно заменить скалярное произведение $\langle x,x'\rangle$ на ядро $K(x,x')$. Более того, можно вообще не строить спрямляющее пространство $H$ в явном виде, и вместо подбора отображения $\varphi$ заниматься непосредственно подбором ядра. Можно пойти ещё дальше, и вовсе отказаться от признаковых описаний объектов. Во многих практических задачах объекты изначально задаются информацией об их попарном взаимоотношении, например, отношении сходства. Если эта инфор-мация информация допускает представление в виде двуместной функции $K(x,x')$, удовлетворяющей аксиомам скалярного произведения, то задача может решаться методом [[Метод опорных векторов (SVM) | SVM опорных векторов]]. == Преимущества и недостатки == '''Преимущества''' * Обобщение линейных методов на нелинейный случай: а) с сохранением вычислительной эффективности линейных методов. б) с сохранением преимуществ линейных методов (локальный оптимум является глобальным, нет локальных оптимумов=>меньше переобучение). * Объекты для которых не существует векторных представлений фиксированной длины. * Ускоренное вычисление скалярных произведений для высоких значений размерностей. '''Недостатки''' * Вычислительно сложно проверять принадлежность функции ядру. * Поиск подходящего ядра экспоненциально сложен из-за их большого многообразия. == Характерные случаи применения ==* Признаковое пространство высокой размерности. Например все полиномы до степени $M$, для случая Гаусовского ядра {{---}} признаковое пространство бесконечной размерности. * Случай, когда сложно представить объекты векторами фиксированной длины. Такие, как строки, множества, картинки, тексты, графы, 3D-структуры и т.д. * Существование естественного определения скалярного произведения. Такие, как строки (число совместно встречающихся подстрок) или множества (напр. для множеств $S_1$ и $S_2$ ядром будет являться $K(S_1, S_2) = 2^{|S_1\cap S_2|}$). * Скалярное произведение может быть подсчитано эффективно.

'''{{Теорема |id=merser|author=Мерсера''': |statement = Функция $K(x,y) $ является ядром тогда и только тогда, когда она симметрична: $K(x,y)=K(y,x)$ и неотрицательно определена, то есть $\forall g: X \rightarrow \mathbb{R}, \int_X \int_X K(x, x')g(x)g(x')dxdx' \geqslant 0$|proof = }}

Проверка неотрицательной определённости функции в реальных задачах может быть сложной. Чаще всего ограничиваются перебором конечного числа функций, про которые известно, что они являются ядрами. Среди них выбирается лучшая(обычно по критерию скользящего контроля). Такое решение не будет оптимальным , и на сегодняшний день проблема выбора ядра, оптимального для данной конкретной задачи, остаётся открытой, лучшие из известных на данный момент решений основываются на генетических алгоритмах<ref>[https://www.researchgate.net/publication/221080223_An_Evolutionary_Approach_to_Automatic_Kernel_Construction - T.Howley, M.G.Madden — An Evolutionary Approach to Automatic Kernel Construction]</ref>.

1.Произвольное скалярное произведение $ K(x,x') =\langle x,x'\rangle $ является ядром.

8. Функция вида $K(x,x') = k(x−x')$ является ядром тогда и только тогда, когда Фурье-образ $F[k](\omega) = (2\pi)^{\frac{n}{2}}\int_Xe^{−i\langle\omega,x\rangle }k(x)dx$ неотрицателен.

10. Композиция произвольного ядра $K_0$ и произвольной функции $f:R\rightarrow R$, представимой в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами $K(x,x') = f(K_0(x,x'))$, является ядром. В частности, функции $f(z) =e^z$ и $f(z) =\frac{1}{1−z}$ от где $z$ {{---}} функция ядра {{---}} являются ядрами. 

0. '''Линейное''' (англ. linear) $K(x, x')== Некоторые часто используемые функции ==\langle x, x'\rangle$

1.'''Полиномиальное ядро ''' (англ. polynomial) $K(x, x') = (\langle x, x' \rangle + R)^d$<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_kernel - Polynomial kernel</ref> Используется когда необходимо получить полином $p(y)$, где в качестве $y$ выступает скалярное произведение $\langle x, x' \rangle$. Поскольку в конструктивных возможностях у нас есть умножение ядер, умножение на коэффициент и сложение, то любой многочлен так же является ядром. 2. '''Гаусово''' (англ. gaussian) ядро RBF (Radial basis function)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function_kernel - RBF]</ref> $K(x, x') = exp(-\frac{\parallel x - x'\parallel^2}{2\sigma^2})$ Такое ядро соответствует бесконечномерному пространству. Поскольку оно является пределом последовательности полиномиальных ядер при стремлении степени ядра к бесконечности. 3. '''Сигмоидальное''' (англ. sigmoid) ядро $tangh (\gamma \langle x, x'\rangle + r)$  В отличие от предыдущих 3-х не является ядром Мерсера (не выполняет условие теоремы), но при этом на практике работает хорошо. 4. '''Строковое''' Строковые ядра <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D1%8F%D0%B4%D1%80%D0%BE#%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 - Строковое ядро]</ref> это различные ядерные функции для вычисления расстояний между двумя строками.  == Использование ядер в коде == В библиотеке языка Python {{---}} sklearn.clustering<ref>https://scikit-learn.org/stable/modules/classes.html#module-sklearn.cluster - sklearn.cluster</ref>, есть функции и классы которые используют ядра для кластеризации, например SVM(Support vector machines). * Подключаем библиотеки: '''import''' svm model '''from''' sklearn '''import''' svm * Создаём классификатор svm {{---}} Classifier. В данном случае используется линейное ядро. Так же можно использовать 'polynomial' и 'rbf' [[Ядро#Некоторые часто используемые ядра|(см. используемые ядра)]].

Используется когда необходимо получить полином $p clf = svm.SVC(ykernel='linear')$, где в качестве y выступает скалярное произведение $\langle x, x' \rangle$. Поскольку в конструктивных возможностях у нас есть умножение ядер, умножение на коэффициент и сложение, то любой многочлен так же является ядром.

2*Тренируем модель используя заданные сеты и смотрим на предсказанные ответы: clf.Гаусово ядро RBF K'''fit'''(xX_train, x'y_train) y_pred = $expclf.'''predict'''(-\frac{\parallel x - x'\parallel^2}{2\sigma^2}X_test)$

Такое ядро соответсвует бесконечномерному пространствуКроме того, у этой функции так же присутствует гипперпараметры {{---}} '''регуляризация''' (англ. Поскольку оно является пределом последовательности полиномиальных ядер regularization), который отвечает за размер штрафа и гамма, которая отвечает за приближенность результирующей функций к датасету. Здесь нужно помнить, что при стремлении степени ядра к бесконечностибольших значениях гамма возможно [[Переобучение|переобучение]].