Язык Дика

Материал из Викиконспекты
Версия от 13:12, 14 мая 2018; Senya (обсуждение | вклад) (Правила вывода в языке Дика)
Перейти к: навигация, поиск


Определение:
Пусть [math]A = \{a_1, a_2, \ldots , a_k\}[/math] — произвольный конечный набор различных букв. Словом в алфавите [math]A[/math] называется произвольная конечная последовательность буквa [math]a_1 a_2 \ldots a_m,[/math] где [math]a_i \in A , i = 1, \ldots , m[/math]. Число [math]m[/math] называется длиной слова. Языком над алфавитом [math]A[/math] называется произвольное (конечное или бесконечное) множество слов в алфавите [math]A[/math].


Пустое слово [math]\lambda[/math] имеет длину [math]0[/math] и может входить или не входить в язык.


Определение:
Язык Дика (англ. Dyck language) — множество правильных скобочных структур вместе с пустой структурой, образующее язык над алфавитом [math]\{a, b\}[/math].


Определение:
Производящей функцией (англ. generating function) языка [math]L[/math] называется производящая функция [math]L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots,[/math] где [math]l_k[/math] есть число слов длины [math]k[/math] в языке [math]L[/math].


Правила вывода в языке Дика

Рассмотрим два правила вывода в языке Дика:

1) [math]r \longrightarrow \lambda[/math]
2) [math]r \longrightarrow arbr,[/math]

где [math]r[/math] — буква, не входящая в алфавит [math]\{a, b\}[/math],

стрелка [math]\longrightarrow[/math] заменяет фразу: если в слове есть буква [math]r[/math], то эту букву можно заменить на слово, стоящее справа от стрелки.

Правила вывода можно понимать следующим образом:

Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.

Ясно, что для каждого слова такое представление единственно.

Вычислим с помощью правил вывода производящую функцию для языка Дика. Для этой цели выпишем некоммутативный производящий ряд, перечисляющий слова языка. Этот ряд представляет собой формальную сумму всех слов языка, выписанных в порядке возрастания длины:

[math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math]

Теорема:
Ряд [math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math] удовлетворяет уравнению [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Действительно, в левой части равенства [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math] записана сумма всех слов языка Дика. Равенство означает справедливость утверждения: Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.
При этом такое представление единственно.
[math]\triangleleft[/math]