Редактирование: 1я и 2я теоремы Геделя о неполноте арифметики
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 2: | Строка 2: | ||
[[Категория: Математическая логика]] | [[Категория: Математическая логика]] | ||
− | + | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 47: | Строка 47: | ||
геделев номер. Тогда рассмотрим формулу <tex>\forall p \neg W_1(\overline{w},p)</tex> | геделев номер. Тогда рассмотрим формулу <tex>\forall p \neg W_1(\overline{w},p)</tex> | ||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |about = Первая теорема Геделя о неполноте арифметики | ||
|statement= | |statement= | ||
1. Если формальная арифметика непротиворечива, то недоказуемо <tex>\forall p \neg W_1(\overline{w},p)</tex>.<br> | 1. Если формальная арифметика непротиворечива, то недоказуемо <tex>\forall p \neg W_1(\overline{w},p)</tex>.<br> | ||
Строка 94: | Строка 94: | ||
отрицания этой формулы. Ну и по традиции применим ее к своему номеру <tex>r</tex>. | отрицания этой формулы. Ну и по традиции применим ее к своему номеру <tex>r</tex>. | ||
Внимательное рассмотрение этой ситуации приводит к следующей теореме. | Внимательное рассмотрение этой ситуации приводит к следующей теореме. | ||
− | + | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |about = Аналог I теоремы Гёделя о неполноте | ||
|statement = В любой '''достаточно богатой системе''' существует истинное недоказуемое утверждение. | |statement = В любой '''достаточно богатой системе''' существует истинное недоказуемое утверждение. | ||
|proof = | |proof = | ||
Строка 110: | Строка 111: | ||
</code> | </code> | ||
}} | }} | ||
− | + | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |about=Теорема Геделя в форме Россера | ||
|statement= | |statement= | ||
Если формальная арифметика непротиворечива, то | Если формальная арифметика непротиворечива, то | ||
Строка 152: | Строка 154: | ||
<tex>\neg F</tex> также недоказуемо, если арифметика непротиворечива. | <tex>\neg F</tex> также недоказуемо, если арифметика непротиворечива. | ||
}} | }} | ||
− | + | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |about=Вторая теорема Геделя о неполноте арифметики | ||
|statement= | |statement= | ||
Если в формальной арифметике удастся доказать ее непротиворечивость, то | Если в формальной арифметике удастся доказать ее непротиворечивость, то |