1ripi1sumwc — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
{{Задача
 
{{Задача
 
|definition=
 
|definition=
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex> и вес <tex>w_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>.Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_{i} C_{i}</tex> было минимальным, где <tex>C_{i}</tex> {{---}} время окончания работы.
+
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex> и вес <tex>w_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_{i} C_{i}</tex> было минимальным, где <tex>C_{i}</tex> {{---}} время окончания работы.
 
}}
 
}}
Это задание может быть сведено к более простому - Задаче о назначениях. По этой причине можно решить задачу за <tex>O(n^3)</tex>. Теперь рассмотрим как решить её эффективнее.
+
Перед решением этой задачи рассмотрим более простую.
  
==Описание алгоритма==
+
<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>
 +
{{Задача
 +
|definition=
 +
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum f_{i}</tex> было минимальным, где <tex>f_{i}</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
==Описание алгоритма простой задачи==
 +
Нам нужно распределить <tex>n</tex> работ в разное время. Если мы назначим время <tex>t</tex> для работы <tex>i</tex> то цена будет <tex>f_i(t + 1)</tex>. Далее покажем что <tex>n</tex> временных промежутков будут рассмотрены. Таким образом, задача может быть решена за <tex>O(n^3)</tex>. Так как функция <tex>f_i</tex> монотонно неубывающая, то работы в расписании будем располагать как можно раньше. <tex>n</tex> временных интервалов <tex>t_i</tex> для <tex>n</tex> работ могут быть получены с помощью следующего алгоритма, где предполагается что рабочие места нумеруются так:
 +
 
 +
<tex> r_1 <= r_2 <=... <= r_n</tex>
 +
==Псевдокод простой задачи==
 +
  <tex>t_1 \leftarrow r_1 </tex>
 +
  '''FOR'''  <tex> i \leftarrow 2</tex> '''TO''' <tex>n</tex> '''DO'''
 +
      <tex> t_i \leftarrow </tex> '''MAX'''<tex>(r_i, \ t_{i-1} - 1)</tex>
 +
 
 +
==Описание алгоритма основной задачи==
 
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
 
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
 
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
 
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
Строка 16: Строка 31:
 
</ol>
 
</ol>
  
==Доказательство корректности алгоритма==
+
==Доказательство корректности алгоритма основной задачи==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Строка 32: Строка 47:
 
}}
 
}}
  
==Псевдокод==
+
==Псевдокод основной задачи==
 
   <tex> S \leftarrow \{1 \dots n\}</tex>
 
   <tex> S \leftarrow \{1 \dots n\}</tex>
 
   <tex> time \leftarrow 0</tex>
 
   <tex> time \leftarrow 0</tex>
Строка 50: Строка 65:
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 +
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20
 
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85
 
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]

Версия 12:14, 2 июня 2015

[math] 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum w_i C_i[/math]


Задача:
Дано [math]n[/math] работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления [math]r_{i}[/math] и вес [math]w_{i}[/math]. Время выполнения всех работ [math]p_i[/math] равно [math]1[/math]. Требуется выполнить все работы, чтобы значение [math]\sum w_{i} C_{i}[/math] было минимальным, где [math]C_{i}[/math] — время окончания работы.

Перед решением этой задачи рассмотрим более простую.

[math] 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i[/math]

Задача:
Дано [math]n[/math] работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления [math]r_{i}[/math]. Время выполнения всех работ [math]p_i[/math] равно [math]1[/math]. Требуется выполнить все работы, чтобы значение [math]\sum f_{i}[/math] было минимальным, где [math]f_{i}[/math] — монотонная функция времени окончания работы [math]C_{i}[/math].


Описание алгоритма простой задачи

Нам нужно распределить [math]n[/math] работ в разное время. Если мы назначим время [math]t[/math] для работы [math]i[/math] то цена будет [math]f_i(t + 1)[/math]. Далее покажем что [math]n[/math] временных промежутков будут рассмотрены. Таким образом, задача может быть решена за [math]O(n^3)[/math]. Так как функция [math]f_i[/math] монотонно неубывающая, то работы в расписании будем располагать как можно раньше. [math]n[/math] временных интервалов [math]t_i[/math] для [math]n[/math] работ могут быть получены с помощью следующего алгоритма, где предполагается что рабочие места нумеруются так:

[math] r_1 \lt = r_2 \lt =... \lt = r_n[/math]

Псевдокод простой задачи

  [math]t_1 \leftarrow r_1 [/math]
  FOR  [math] i \leftarrow 2[/math] TO [math]n[/math] DO
     [math] t_i \leftarrow [/math] MAX[math](r_i, \ t_{i-1} - 1)[/math]

Описание алгоритма основной задачи

Пусть [math]time[/math] — текущий момент времени.
Для каждого очередного значения [math]time[/math], которое изменяется от [math]0[/math] до времени окончания последней работы, будем:

  1. Выбирать работу [math]j[/math] из множества невыполненных работ, у которой [math]r_{i} \le time[/math], а значение [math]w_{i}[/math] максимально.
  2. Если мы смогли найти работу [math]j[/math], то выполняем её в момент времени [math]time[/math] и удаляем из множества невыполненных работ.
  3. Увеличиваем [math]time[/math] на один.

Доказательство корректности алгоритма основной задачи

Теорема:
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство будем вести от противного.
Рассмотрим расписание [math]S_{1}[/math], полученное после выполнения нашего алгоритма, и оптимальное расписание [math]S_{2}[/math].
Возьмём первый момент времени [math]t_{1}[/math], когда расписания различаются. Пусть в этот момент времени в [math]S_{1}[/math], будет выполняться работа с весом [math]w_{1}[/math], а в [math]S_{2}[/math] — работа с весом [math]w_{2}[/math].
Это первый момент, в котором расписания отличаются, значит в [math]S_{2}[/math] работа с весом [math]w_{1}[/math] выполнится в момент времени [math]t_{2} \gt t_{1}[/math].
Поменяем местами работы с весами [math]w_{1}[/math] и [math]w_{2}[/math] в [math]S_{2}[/math] и полуим расписание [math]S_{3}[/math]. Это возможно, потому что время появления этих работ не меньше [math]t_{1}[/math].
При такой перестановке ответы на задачу для [math]S_{2}[/math] и [math]S_{3}[/math] будут отличаться на

    [math]t_{1}w_{2} + t_{2}w_{1} - t_{1}w_{1} + t_{2}w_{2} = t_{1}(w_{2} - w_{1}) + t_{2}(w_{1} - w_{2}) = (t_{1} - t_{2})(w_{2} - w_{1})[/math]

Первая скобка отрицательная: [math]t_{1} \lt t_{2}[/math]. Вторая скобка тоже отрицательная из того, что в [math]S_{1}[/math] работа с весом [math]w_1[/math] выполняется раньше, значит её вес должен быть больше [math]w_2[/math].

Итого имеем, что ответ для [math]S_{2}[/math] больше, чем ответ для [math]S_{3}[/math]. Следовательно расписание [math]S_2[/math] неоптимальное. Получили противоречие. Значит не существует такого момента времени, когда расписание [math]S_{1}[/math] отличается от оптимального. Следовательно мы доказали, что оно оптимальное.
[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод основной задачи

  [math] S \leftarrow \{1 \dots n\}[/math]
  [math] time \leftarrow 0[/math]
  [math] answer \leftarrow 0[/math]
  WHILE [math] S \neq \varnothing [/math]
     [math] j \leftarrow null [/math]
     IF [math] i \in S[/math] AND [math] r_{i} \leq time[/math] AND [math]\max w_{i} [/math]
        [math] j \leftarrow i [/math]
     IF [math]j \neq null [/math]
        [math] S \leftarrow S \setminus j[/math]
        [math] Answer \leftarrow Answer + time \cdot w_{j}[/math]
     [math] time++[/math]

Сложность алгоритма

Множество [math]S[/math] станет пустым не позже, чем через [math]n + \max r_{i}[/math] шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время [math]O(\log n)[/math], используя , например, очередь с приоритетами. Значит общее время работы алгоритма [math]O((n + \max r_{i})\log n)[/math]


Источники информации

  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20
  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85