1ripi1sumwc — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex> и вес <tex>w_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_{i} C_{i}</tex> было минимальным, где <tex>C_{i}</tex> {{---}} время окончания работы.
 
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex> и вес <tex>w_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_{i} C_{i}</tex> было минимальным, где <tex>C_{i}</tex> {{---}} время окончания работы.
 
}}
 
}}
 +
 +
==Простые задачи==
  
 
Перед решением основной задачи рассмотрим более простые.
 
Перед решением основной задачи рассмотрим более простые.
 
==Просты задачи==
 
  
 
===Задача 1===
 
===Задача 1===
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum C_i</tex>
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum C_i</tex>
  
'''Описание алгоритма'''
+
Этот случай простейший. Ответом будет <tex>\sum_{k = 1}^n(k)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время окончания выполнения одной работы. В этом случае алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.
 
 
Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex>
 
 
 
Этот случай простейший. Для верного выполнения просто выставим работы по порядку, тогда ответом будет <tex>n</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время выполнения одной работы, которое в нашем случае единица.
 
  
 
===Задача 2===
 
===Задача 2===
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum w_i C_i</tex>
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum w_i C_i</tex>
 
'''Описание алгоритма'''
 
  
 
Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex> и вес каждой работы <tex>w_i</tex>  
 
Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex> и вес каждой работы <tex>w_i</tex>  
  
Для верного выполнения просто выставим работы по порядку убывания весов, тогда ответом будет <tex> \sum_{i = 1}^n(w_i C_i)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время выполнения одной работы (которое в нашем случае единица) домноженное на вес этой работы.
+
Для верного выполнения просто выставим работы по порядку невозрастанию весов, тогда ответом будет <tex> \sum_{i = 1}^n(w_i C_i)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время окончания выполнения одной работы (которое в нашем случае <tex>C_{i-1}+1</tex>) домноженное на вес этой работы. Если вес работ отсортировали за <tex>O(n \log n)</tex> то алгоритм работает за <tex>O(n + n \log n)</tex>
  
 
===Задача 3===
 
===Задача 3===
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>
 
<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>
{{Задача
+
<tex>f_{i}</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex> для работ <tex>i = 1, 2, \dots , n</tex>.
|definition=
 
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum f_{i}</tex> было минимальным, где <tex>f_{i}</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex> для работ <tex>i = 1, 2, ..., n</tex>.
 
}}
 
  
 
'''Описание алгоритма'''
 
'''Описание алгоритма'''
Строка 47: Строка 38:
 
       <tex> t_i \leftarrow </tex> '''max'''<tex>(r_i, \ t_{i-1} - 1)</tex>
 
       <tex> t_i \leftarrow </tex> '''max'''<tex>(r_i, \ t_{i-1} - 1)</tex>
  
==Описание алгоритма==
+
==Основная задача==
 +
===Описание алгоритма===
 
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
 
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
 
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
 
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
 
<ol>
 
<ol>
<li> Выбирать работу <tex>j</tex> из множества невыполненных работ, у которой <tex>r_{i} \le time</tex>, а значение <tex>w_{i}</tex> максимально.</li>
+
<li> Выбирать работу <tex>j</tex> из множества невыполненных работ, у которой <tex>r_{i} \leqslant time</tex>, а значение <tex>w_{i}</tex> максимально.</li>
 
<li> Если мы смогли найти работу <tex>j</tex>, то выполняем её в момент времени <tex>time</tex> и удаляем из множества невыполненных работ.</li>
 
<li> Если мы смогли найти работу <tex>j</tex>, то выполняем её в момент времени <tex>time</tex> и удаляем из множества невыполненных работ.</li>
 
<li> Увеличиваем <tex>time</tex> на один.</li>
 
<li> Увеличиваем <tex>time</tex> на один.</li>
 
</ol>
 
</ol>
  
==Доказательство корректности алгоритма==
+
===Доказательство корректности алгоритма===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Строка 72: Строка 64:
 
}}
 
}}
  
==Псевдокод==
+
===Псевдокод===
 
   <tex> S \leftarrow \{1 \dots n\}</tex>
 
   <tex> S \leftarrow \{1 \dots n\}</tex>
 
   <tex> \mathtt{time} \leftarrow 0</tex>
 
   <tex> \mathtt{time} \leftarrow 0</tex>
Строка 85: Строка 77:
 
       <tex> \mathtt{time++}</tex>
 
       <tex> \mathtt{time++}</tex>
  
==Сложность алгоритма==
+
===Сложность алгоритма===
Множество <tex>S</tex> станет пустым не позже, чем через <tex>n + \max_{i = 1}^n r_{i}</tex> шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время <tex>O(\log n)</tex>, используя , например, [[Wikipedia:ru:Очередь с приоритетом (программирование)|очередь с приоритетами]]. Значит общее время работы алгоритма <tex>O((n + \max_{i = 1}^n r_{i})\log n)</tex>
+
Множество <tex>S</tex> станет пустым не позже, чем через <tex>n + \max_{i = 1}^n r_{i}</tex> шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время <tex>O(\log n)</tex>, используя , например, [[Приоритетные_очереди|очередь с приоритетами]]. Значит общее время работы алгоритма <tex>O((n + \max_{i = 1}^n r_{i})\log n)</tex>
  
 +
==См. также==
 +
* [[Классификация задач]]
 +
* [[1ridipi1|<tex>1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>]]
 +
* [[1ridipi1|<tex>1 | r_{i}, d_{i}, p_{i}=1 | -</tex>]]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20
+
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19-20
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 38 - 39
+
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 38-39
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85
+
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84-85
 
* Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Пособие по теории расписаний.
 
* Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Пособие по теории расписаний.
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]

Версия 12:22, 3 июня 2015

[math] 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum w_i C_i[/math]


Задача:
Дано [math]n[/math] работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления [math]r_{i}[/math] и вес [math]w_{i}[/math]. Время выполнения всех работ [math]p_i[/math] равно [math]1[/math]. Требуется выполнить все работы, чтобы значение [math]\sum w_{i} C_{i}[/math] было минимальным, где [math]C_{i}[/math] — время окончания работы.


Простые задачи

Перед решением основной задачи рассмотрим более простые.

Задача 1

[math] 1 \mid p_i = 1\mid \sum C_i[/math]

Этот случай простейший. Ответом будет [math]\sum_{k = 1}^n(k)[/math], так как мы [math]n[/math] раз сложим время окончания выполнения одной работы. В этом случае алгоритм работает за [math]O(n)[/math].

Задача 2

[math] 1 \mid p_i = 1\mid \sum w_i C_i[/math]

Входные данные для этой задачи: число работ [math]n[/math] и вес каждой работы [math]w_i[/math]

Для верного выполнения просто выставим работы по порядку невозрастанию весов, тогда ответом будет [math] \sum_{i = 1}^n(w_i C_i)[/math], так как мы [math]n[/math] раз сложим время окончания выполнения одной работы (которое в нашем случае [math]C_{i-1}+1[/math]) домноженное на вес этой работы. Если вес работ отсортировали за [math]O(n \log n)[/math] то алгоритм работает за [math]O(n + n \log n)[/math]

Задача 3

[math] 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i[/math] [math]f_{i}[/math] — монотонная функция времени окончания работы [math]C_{i}[/math] для работ [math]i = 1, 2, \dots , n[/math].

Описание алгоритма

Нам нужно распределить [math]n[/math] работ в разное время. Если мы назначим время [math]t[/math] для работы [math]i[/math] то цена будет [math]f_i(t + 1)[/math]. Так как нужно заполнить [math]n[/math] временных промежутков, задача может быть решена за [math]O(n^3)[/math]. Функция [math]f_i[/math] монотонно неубывающая, тогда работы в расписании надо располагать как можно раньше для получения верного решения. [math]n[/math] временных интервалов [math]t_i[/math] для [math]n[/math] работ могут быть получены с помощью следующего алгоритма, где предполагается что работы нумеруются так:

[math] r_1 \leqslant r_2 \leqslant \ldots \leqslant r_n[/math]

Псевдокод

  [math]t_1 \leftarrow r_1 [/math]
  for  [math] i \leftarrow 2[/math] to [math]n[/math] do
     [math] t_i \leftarrow [/math] max[math](r_i, \ t_{i-1} - 1)[/math]

Основная задача

Описание алгоритма

Пусть [math]time[/math] — текущий момент времени.
Для каждого очередного значения [math]time[/math], которое изменяется от [math]0[/math] до времени окончания последней работы, будем:

  1. Выбирать работу [math]j[/math] из множества невыполненных работ, у которой [math]r_{i} \leqslant time[/math], а значение [math]w_{i}[/math] максимально.
  2. Если мы смогли найти работу [math]j[/math], то выполняем её в момент времени [math]time[/math] и удаляем из множества невыполненных работ.
  3. Увеличиваем [math]time[/math] на один.

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство будем вести от противного.
Рассмотрим расписание [math]S_{1}[/math], полученное после выполнения нашего алгоритма, и оптимальное расписание [math]S_{2}[/math].
Возьмём первый момент времени [math]t_{1}[/math], когда расписания различаются. Пусть в этот момент времени в [math]S_{1}[/math], будет выполняться работа с весом [math]w_{1}[/math], а в [math]S_{2}[/math] — работа с весом [math]w_{2}[/math].
Это первый момент, в котором расписания отличаются, значит в [math]S_{2}[/math] работа с весом [math]w_{1}[/math] выполнится в момент времени [math]t_{2} \gt t_{1}[/math].
Поменяем местами работы с весами [math]w_{1}[/math] и [math]w_{2}[/math] в [math]S_{2}[/math] и полуим расписание [math]S_{3}[/math]. Это возможно, потому что время появления этих работ не меньше [math]t_{1}[/math].
При такой перестановке ответы на задачу для [math]S_{2}[/math] и [math]S_{3}[/math] будут отличаться на

    [math]t_{1}w_{2} + t_{2}w_{1} - t_{1}w_{1} + t_{2}w_{2} = t_{1}(w_{2} - w_{1}) + t_{2}(w_{1} - w_{2}) = (t_{1} - t_{2})(w_{2} - w_{1})[/math]

Первая скобка отрицательная: [math]t_{1} \lt t_{2}[/math]. Вторая скобка тоже отрицательная из того, что в [math]S_{1}[/math] работа с весом [math]w_1[/math] выполняется раньше, значит её вес должен быть больше [math]w_2[/math].

Итого имеем, что ответ для [math]S_{2}[/math] больше, чем ответ для [math]S_{3}[/math]. Следовательно расписание [math]S_2[/math] неоптимальное. Получили противоречие. Значит не существует такого момента времени, когда расписание [math]S_{1}[/math] отличается от оптимального. Следовательно мы доказали, что оно оптимальное.
[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

  [math] S \leftarrow \{1 \dots n\}[/math]
  [math] \mathtt{time} \leftarrow 0[/math]
  [math] \mathtt{answer} \leftarrow 0[/math]
  while [math] S \neq \varnothing [/math]
     [math] j \leftarrow null [/math]
     if [math] i \in S[/math] and [math] r_{i} \leqslant \mathtt{time}[/math] and [math]w_i \geqslant max_{j = 1}^n w_j[/math]
        [math] j \leftarrow i [/math]
     if [math]j \neq null [/math]
        [math] S \leftarrow S \setminus j[/math]
        [math] \mathtt{Answer} \leftarrow \mathtt{Answer} + \mathtt{time} \cdot w_{j}[/math]
     [math] \mathtt{time++}[/math]

Сложность алгоритма

Множество [math]S[/math] станет пустым не позже, чем через [math]n + \max_{i = 1}^n r_{i}[/math] шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время [math]O(\log n)[/math], используя , например, очередь с приоритетами. Значит общее время работы алгоритма [math]O((n + \max_{i = 1}^n r_{i})\log n)[/math]

См. также

Источники информации

  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19-20
  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 38-39
  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84-85
  • Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Пособие по теории расписаний.