Просмотр исходного текста страницы Black-box Complexity. Примеры нереалистичных оценок Black-box Complexity

{{В разработке}}
== Введение в Black-box Complexity ==
Целью [[Теория_сложности|теории сложности]] является определение вычислительной трудности алгоритмов. Классическая теория сложности предполагает, что алгоритму полностью известна структура решаемой задачи. В случае [[Эволюционные_алгоритмы|эволюционных алгоритмов]], алгоритм обладает информацией только о качестве (значении ''fitness''-функции) получаемого им решения, по этой причине утверждения классической теории сложности здесь мало применимы.

'''Black-box Complexity''' <ref name="bbox">[http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2001576.2001851 Doerr B., Kötzing T., Winzen C. Too fast unbiased black-box algorithms]</ref> &mdash; попытка построить теорию сложности для эволюционных алгоритмов. Вкратце, ''black-box'' сложность алгоритма &mdash; количество вычислений ''fitness''-функции, необходимое для получения решения. Такое определение позволяет получить не реалистично низкие оценки ''black-box'' сложности, например, полиномиальную сложность для [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]] задачи поиска максимальной клики <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Clique_problem Clique problem]</ref>.

По этой причине были введены ограничения на исследуемые алгоритмы. Требуется, чтобы для получения новых кандидатов на решение использовались только '''несмещенные''' (позиция элемента в битовой строке и его значение не влияют на выбор битов для изменения) '''вариативные операторы'''. Также было введено понятие '''арности''' &mdash; <tex>k</tex>-арный несмещенный ''black-box'' алгоритм использует только те операторы, которые принимают не более чем <tex>k</tex> аргументов. Для некоторых классов задач такой подход к опеределению ''black-box'' сложности позволяет получить более реалистичные оценки вычислительной трудности. Операторы с арностью <tex>1</tex> называют '''мутационными'''. В настоящей статье показано, что даже для алгоритмов, использующих только мутационные операторы, можно получить не реалистично маленькую оценку ''black-box'' сложности.

== Неограниченная и несмещенная Black-box модели ==
=== Обозначения ===
*<tex>\mathbb{N}</tex> &mdash; положительные целые числа;
*<tex>\forall k \in \mathbb{N}</tex>:
:<tex>[k] := \{1, \ldots , k\}</tex>;
*<tex>[0..k] := [k] \cup \{0\}</tex>;
*для битовой строки <tex>x = x_1 \cdots x_n \in \{0, 1\}^n</tex>:
:<tex>\overline{x}</tex> &mdash; побитовое дополнение строки <tex>x</tex>;
*<tex>\bigoplus</tex> &mdash; побитовое исключающее или;
*для любого множества <tex>S</tex>:
:<tex>2^S</tex> &mdash; множество всех подмножеств множества <tex>S</tex>
*для <tex>n \in \mathbb{N}</tex>:
:<tex>S_n</tex> &mdash; множество всех перестановок <tex>[n]</tex>;
*для <tex>\sigma \in S_n</tex> и <tex>x \in \{0,1\}^n</tex>:
:<tex>\sigma(x) := x_{\sigma(1)} \cdots x_{\sigma(n)}</tex>;
*под <tex>log</tex> понимается натуральный логарифм.

=== Неограниченная Black-box модель ===
Рассматривается класс алгоритмов оптимизации, которые получают информацию о решаемой задаче через вычисление ''fitness''-функции возможных решений. Заданная ''fitness''-функция вычисляется '''ораклом''', или дается как ''black-box''. Алгоритм может запросить у ''оракла'' значение функции для любого решения, однако больше никакой информации о решении получить не может.

В качестве ''fitness''-функции берется псевдо-булевая функция <tex>F:\{0,1\}^n \rightarrow \mathbb{R}</tex>.

Согласно концепции ''black-box'', алгоритм может включать следующие действия:
*выбор вероятностного распределения над <tex>\{0,1\}^n</tex>;
*выбор кандидата <tex>x \in \{0,1\}^n</tex> cогласно выбранному распределению;
*запрос значения ''fitness''-функции выбранного кандидата у ''оракла''.

Схема неограниченного ''black-box'' алгоритма:

 '''Инициализация:''' выбрать <tex>x^{(0)}</tex> согласно некоторому вероятностному распределению <tex>p^{(0)}</tex> над <tex>\{0,1\}^n</tex>. Запросить <tex>f(x^{(0)})</tex>.
 '''Оптимизация:''' '''for''' <tex>t = 1, 2, 3, \ldots </tex> '''until''' ''условие остановки'' '''do'''
   Исходя из <tex>((x^{(0)}, f(x^{(0)}), \ldots, (x^{(t-1)}, f(x^{(t-1)}))</tex>, выбрать вероятностное распределение <tex>p^{(t)}</tex> над <tex>\{0,1\}^n</tex>.
   Выбрать <tex>x^{(t)}</tex> согласно <tex>p^{(t)}</tex> и запросить <tex>f(x^{(t)})</tex>.

В качестве времени работы ''black-box'' алгоритма берется количество запросов к ''ораклу'' сделанное до первого запроса с оптимальным решением.

Пусть <tex>\mathcal{F}</tex> &mdash; класс псевдо-булевых функций. Сложностью алгоритма <tex>A</tex> над <tex>\mathcal{F}</tex> называется максимальное предположительное время работы <tex>A</tex> на функции <tex>f \in \mathcal{F}</tex> (в худшем случае). Сложностью <tex>\mathcal{F}</tex> относительно класса алгоритмов <tex>\mathcal{A}</tex> называется минимальная сложность среди всех <tex>A \in \mathcal{A}</tex> над <tex>\mathcal{F}</tex>. Неограниченной ''black-box'' сложностью <tex>\mathcal{F}</tex> называется сложность <tex>\mathcal{F}</tex> относительно класса неограниченных ''black-box'' алгоритмов.

=== Несмещенная Black-box модель ===
Класс неограниченных ''black-box'' алгоритмов слишком мощный. Например для любого функционального класса <tex>\mathcal{F} = \{f\}</tex> неограниченная ''black-box'' сложность равна единице &mdash; алгоритм, который просто запрашивает оптимальное решение первым же шагом, удовлетворяет этому условию.

Чтобы избежать этих недостатков была введена более строгая модель. В ней алгоритмы могут генерировать новые решения используя только ''несмещенные вариативные операторы''.

{{Определение
|definition=<tex>\forall k \in \mathbb{N}, k</tex>-арным несмещенным распределением <tex>(D(\cdot|y^{(1)},\ldots,y^{(k)}))_{y^{(1)},\ldots,y^{(k)} \in \{0,1\}^n}</tex> называется семейство вероятностных распределений над <tex>\{0,1\}^n</tex> таких, что для любых <tex>y^{(1)},\ldots,y^{(k)} \in \{0,1\}^n</tex> выполняются следующие условия:
*<tex>\forall x, z \in \{0,1\}^n</tex>:
:<tex>D(x|y^{(1)},\ldots,y^{(k)}) = D(x \bigoplus z|y^{(1)} \bigoplus z,\ldots,y^{(k)} \bigoplus z)</tex>;
*<tex>\forall x \in \{0,1\}^n \forall \sigma \in S_n</tex>:
:<tex>D(x|y^{(1)},\ldots,y^{(k)}) = D(\sigma(x)|\sigma(y^{(1)}),\ldots,\sigma(y^{(k)}))</tex>.
}}

Первое условие называется <tex>\bigoplus</tex>-инвариантностью, второе &mdash; перестановочной инвариантностью. Оператор, выбранный из <tex>k</tex>-арного несмещенного распределения называется '''<tex>k</tex>-арным несмещенным вариативным оператором'''.

Схема <tex>k</tex>-арного несмещенного ''black-box'' алгоритма:

 '''Инициализация:''' выбрать <tex>x^{(0)}</tex> равновероятно из <tex>\{0,1\}^n</tex>. Запросить <tex>f(x^{(0)})</tex>.
 '''Оптимизация:''' '''for''' <tex>t = 1, 2, 3, \ldots </tex> '''until''' ''условие остановки'' '''do'''
   Исходя из <tex>(f(x^{(0)}), \ldots, f(x^{(t-1)}))</tex>, выбрать <tex>k</tex> индексов <tex>i_1, \ldots, i_k \in [0..t-1]</tex> и <tex>k</tex>-арное несмещенное распределение <tex>D(\cdot|x^{(i_1)},\ldots,x^{(i_k)})</tex>.
   Выбрать <tex>x^{(t)}</tex> согласно <tex>D(\cdot|x^{(i_1)},\ldots,x^{(i_k)})</tex> и запросить <tex>f(x^{(t)})</tex>.

{{Лемма
|id=remark2
|statement=Пусть для задачи <tex>P</tex> существует ''black-box'' алгоритм <tex>A</tex>, который с константной вероятностью успеха решает <tex>P</tex> за <tex>s</tex> итераций. Тогда ''black-box'' сложность <tex>P</tex> не больше <tex>O(s)</tex>.
|proof=Доказательство приведено в работе <ref name="bbox"/>.
}}

== Jump функция ==
{{Определение
|definition=<tex>\forall k < n/2</tex> функция <tex>Jump_k</tex> определяется следующим образом:

:<tex>Jump_k(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} n, & if & |x|_1=n; \\ |x|_1, & if & k < |x|_1 < n-k; \\ 0, & & otherwise, \end{array}\right.</tex>

:<tex>\forall x \in \{0,1\}^n.</tex>
}}

Далее будет показано, что для любого константного <tex>k</tex> можно с высокой вероятностью решить проблему <tex>OneMax</tex> <ref>[http://tracer.lcc.uma.es/problems/onemax/onemax.html OneMax problem]</ref> за малое количество ''black-box'' обращений к <tex>Jump_k</tex>. С помощью этого утверждения можно показать, что для любой константы <tex>k</tex> несмещенная ''black-box'' сложность для функции <tex>Jump_k</tex> не реалистично мала.

{{Лемма
|id=lemma3
|statement=<tex>\forall k,c</tex> существует унарная несмещенная функция <tex>s</tex>, использующая <tex>c+1</tex> запросов к <tex>Jump_k</tex> такая, что для всех битовых строк <tex>x</tex>, <tex>s(x) = OneMax(x)</tex> с вероятностью <tex>1 - O(n^{-c})</tex>.
|proof=Используется унарный несмещенный вариативный оператор <tex>flip_k</tex>, который равновероятно выбирает строку из <tex>k</tex>-окрестности для аргумента (битовую строку, которая отличается в <tex>k</tex> позициях). Ниже предлагается функция <tex>s</tex>, которая использует <tex>Jump_k</tex> для аппроксимации <tex>OneMax</tex>. Функция выбирает <tex>c</tex> битовых строк в <tex>k</tex>-окрестности <tex>x</tex>. Если <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>, то есть вероятность того, что хотя бы раз в <tex>x</tex> будут заменены только единицы, что приведет к тому, что <tex>Jump_k = |x|_1 - k</tex>. Так как больше никакая строка из выборки не будет иметь меньшее <tex>Jump_k</tex> значение, то добавление <tex>k</tex> к минимальному ненулевому значению <tex>Jump_k</tex> других строк из выборки приведет к нужному результату &mdash; функция вернет количество единиц в строке <tex>x</tex>. Случай, когда <tex>|x|_1 \leq k</tex>, аналогичен.

Понятно, что функция корректна при всех <tex>x</tex>, таких, что <tex>k < |x|_1 < n-k</tex>. Остальные два случая симметричны, поэтому пусть <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>. Очевидно, что результат функции корректен тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из <tex>c</tex> строк были заменены только единицы. Требуется вычислить вероятность <tex>p</tex> этого события. Итеративно выбираются <tex>k</tex> бит для замены, поэтому после <tex>i</tex> итераций имеется как минимум <tex>n-k-i</tex> позиций с единицей из <tex>n-i</tex> невыбранных позиций. Отсюда, с использованием неравенства Бернулли <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality Bernoulli's inequality]</ref>, получается граница на вероятность выбора <tex>k</tex> единиц:

:<tex>(\frac{n-k}{n})\cdot(\frac{n-k-1}{n-1})\cdots(\frac{n-k-(k-1)}{n-(k-1)}) = \Pi_{i=0}^{k-1}(1 - \frac{k}{n-i}) \geq (1 - \frac{k}{n-k})^k \geq (1 - \frac{k^2}{n-k})</tex>.

Таким образом:

:<tex>p \geq 1 - (\frac{k^2}{n-k})^c</tex>.

Функция <tex>s</tex>:

 '''if''' <tex>Jump_k(x) \neq 0</tex> '''then output''' <tex>Jump_k(x)</tex>;
 <tex>M \leftarrow \{Jump_k(flip_k(x)) | i \in [c]\}</tex>;
 '''if''' <tex>max(M) < n/2</tex> '''then''' <tex>m \leftarrow max(M) - k</tex>;
 '''else''' <tex>m \leftarrow min(M \backslash \{0\}) + k</tex>;
 '''output''' <tex>m</tex>;
:
}}

Теперь, используя [[#lemma3|предыдущую лемму]], можно найти несмещенную ''black-box'' сложность для функции <tex>Jump_k</tex> при константном <tex>k</tex>.

{{Теорема
|id=th4
|statement=Для константы <tex>k</tex> несмещенная ''black-box'' сложность <tex>Jump_k</tex>:

*<tex>O(n \log(n))</tex> для унарных вариативных операторов;
*<tex>O(n / \log(m))</tex> для <tex>m</tex>-арных вариативных операторов при <tex>2 \leq m \leq n</tex>;
*<tex>O(n / \log(n))</tex> для *-арных вариативных операторов.
|proof=Доказательство приведено в работе <ref name="bbox"/>.
}}

Функции из [[#lemma3|предыдущей леммы]] для работы необходимо знать параметр <tex>k</tex>, но ее можно модифицировать таким образом, что она будет работать без этого знания. Как только функция впервые выберет случайную битовую строку с <tex>Jump_k=0</tex> она определит <tex>k</tex>, затем продолжит работу как было описано выше. Параметр <tex>k</tex> определяется с помощью выбора достаточно большого количества случайных строк в <tex>i</tex>-окрестности от строки с <tex>Jump_k=0</tex>, начиная с <tex>i=1</tex> и продолжая до тех пор, пока <tex>Jump_k</tex> не станет отличным от нуля. Найденная строка будет иметь максимальное значение <tex>Jump_k=n-k-1</tex>. Из этого значения и <tex>n</tex> функция может вычислить <tex>k</tex>.

== Задача о разбиении ==
{{Задача
|definition=Задача о разбиении<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem Partition problem]</ref> (<tex>Partition</tex> problem) ставится следующим образом. Дано мультимножество <tex>\mathcal{I}</tex> положительных целых чисел (весов). Возможно ли разбить его на два непересекающихся множества <tex>\mathcal{I}=\mathcal{I}_0 \cup \mathcal{I}_1</tex> таким образом, что <tex>\Sigma_{w \in \mathcal{I}_0} w = \Sigma_{w \in \mathcal{I}_1} w</tex>?
}}

Оптимизационная версия задачи ставит вопрос о минимизации функции <tex>|\Sigma_{w \in \mathcal{I}_0} w - \Sigma_{w \in \mathcal{I}_1} w|</tex>.

Задача <tex>Partition</tex> является <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудной. Предположительно <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex> и не существует полиномиального алгоритма решения этой задачи.

{{Лемма
|id=lemma5
|statement=Задача <tex>Partition</tex> остается <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудной, когда <tex>\forall v, w \in \mathcal{I}: v \neq w</tex>.
}}

Далее <tex>Partition_{\neq}</tex> &mdash; подкласс задачи <tex>Partition</tex> с заданными различными весами.

Далее предлагаются две различные ''fitness''-функции и показывается, что в обоих случаях может быть достигнута полиномиальная несмещенная ''black-box'' сложность. Показывается, что унарная несмещенная ''black-box'' сложность для задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> равна <tex>O(n \log(n))</tex>.

=== Знаковая ''fitness''-функция ===
Пусть <tex>\mathcal{F}_{\mathcal{I}} := \{(\mathcal{I}_0, \mathcal{I}_1) \in 2^{\mathcal{I}} \times 2^{\mathcal{I}} | \mathcal{I}_0 \dot{\cup} \mathcal{I}_1 = \mathcal{I}\}</tex> &mdash; множество всех возможных решений для <tex>\mathcal{I}</tex>. Знаковую ''fitness''-функция определяется как:

:<tex>f_{\mathcal{I}}^{*}: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{Z}, (\mathcal{I}_0, \mathcal{I}_1) \mapsto \Sigma_{w \in \mathcal{I}_0} w - \Sigma_{w \in \mathcal{I}_1} w</tex>.

Цель заключается в минимизации <tex>|f_{\mathcal{I}}^{*}|</tex>.

Необходимо ввести нумерацию элементов <tex>\mathcal{I}</tex> &mdash; <tex>\sigma: \mathcal{I} \rightarrow [n]</tex>. Для любой битовой строки <tex>x \in \{0,1\}^n</tex> определены <tex>\mathcal{I}_0(x) := \{w \in \mathcal{I} | x_{\sigma(w)} = 0\}</tex> и <tex>\mathcal{I}_1(x) := \{w \in \mathcal{I} | x_{\sigma(w)} = 1\}</tex>. Тогда ''fitness''-функция выглядит так:

:<tex>f_{\mathcal{I}}: \{0,1\}^n \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto \Sigma_{i \in [n], x_i=0} \sigma^{-1}(i) - \Sigma_{i \in [n], x_i=1} \sigma^{-1}(i)</tex>.

{{Теорема
|id=th6
|statement=Унарная несмещенная ''black-box'' сложность задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> относительно ''fitness''-функции <tex>f_{\mathcal{I}}</tex> равна <tex>O(n \log(n))</tex>, где <tex>n := |\mathcal{I}|</tex>.
|proof=Для доказательства теоретмы строится алгоритм с применением двух вариативных операторов:
:*<tex>uniform()</tex> &mdash; выбирает случайную битовую строку <tex>x \in \{0,1\}^n</tex>;
:*<tex>RLS(\cdot)</tex> &mdash; случайно меняет элемент в одной из позиций входной строки.

Для краткости полагется <tex>f := f_{\mathcal{I}}</tex>.

Следующий алгоритм служит доказательством теоремы:

  1 '''Инициализация'''
  2 <tex>x^{(0)} \leftarrow uniform()</tex>. Запрос <tex>f(x^{(0)})</tex>;
  3 <tex>t \leftarrow 0, \mathcal{I}_0', \mathcal{I}_1', \mathcal{W}_0 = \varnothing</tex>;
  4 '''Определение весов'''
  5 '''while''' <tex>|\mathcal{W}_t| < n</tex> '''do'''
  6   <tex>t \leftarrow t + 1</tex>;
  7   <tex>x^{(t)} \leftarrow RLS(x^{(0)})</tex>. Запрос <tex>f(x^{(t)})</tex>;
  8   <tex>\mathcal{W}_t \leftarrow \mathcal{W}_{t-1} \cup \{|f(x^{(0)}) - f(x^{(t)})|/2\}</tex>;
  9   '''if''' <tex>f(x^{(0)}) > f(x^{(t)})</tex> '''then'''
 10     <tex>\mathcal{I}_0' \leftarrow \mathcal{I}_0' \cup {|f(x^{(0)}) - f(x^{(t)})|/2}</tex>;
 11   '''else''' <tex>\mathcal{I}_1' \leftarrow \mathcal{I}_1' \cup {|f(x^{(0)}) - f(x^{(t)})|/2}</tex>;
 12 '''Оптимизация'''
 13 В оффлайне перебором вычисляется оптимальное решение <tex>(\mathcal{O}_0, \mathcal{O}_1)</tex> и множество <tex>\mathcal{M} \leftarrow \{w \in \mathcal{O}_0 | w \notin \mathcal{I}_0'\} \cup \{w \in \mathcal{O}_1 | w \notin \mathcal{I}_1'\}</tex> &mdash; множество элементов, которые необходимо переместить.
 14 <tex>z \leftarrow x^{(0)}</tex>;
 15 '''while''' <tex>|\mathcal{M}| > 0</tex> '''do'''
 16   <tex>y \leftarrow RLS(z)</tex>. Запрос <tex>f(y)</tex>;
 17   '''if''' <tex>w := |f(y)-f(z)|/2 \in \mathcal{M}</tex> '''then'''
 18     <tex>z \leftarrow y</tex>, <tex>\mathcal{M} \leftarrow \mathcal{M} \backslash \{w\}</tex>;

За <tex>(1+o(1))n \log(n)</tex> итераций определяются веса всех элементов <tex>\mathcal{I}</tex>. Зная веса элементов, в оффлайне перебором находится оптимальное решение задачи, после чего это решение необходимо восстановить с помощью вариативного <tex>1</tex>-арного оператора. Для этого построено множество <tex>\mathcal{M}</tex> &mdash; множество элементов, которые необходимо переместить для получения оптимального решения. В итоге, несмещенная ''black-box'' сложность задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> относительно заданной ''fitness''-функции равна <tex>O(n \log(n))</tex>. Полное доказательство приведено в работе <ref name="bbox"/>.

}}

=== Беззнаковая ''fitness''-функция ===
Можно заметить, что при доказательстве [[#th6|предыдущей теоремы]] происходила минимизация не самой функции <tex>f_{\mathcal{I}}</tex>, а только ее абсолютной величины. Однако та же асимптотика достигается и для беззнаковой ''fitness''-функции. Сложность заключается в том, что в этом случае нельзя просто определить вес перемещенного элемента. Этот факт выражается в более сложной процедуре для определения весов элементов.

{{Теорема
|id=th8
|statement=Унарная несмещенная ''black-box'' сложность задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> относительно ''fitness''-функции <tex>|f_{\mathcal{I}}|</tex> равна <tex>O(n \log(n))</tex>. Где <tex>n := |\mathcal{I}|</tex>.
|proof=Для краткости полагается:
:*<tex>f := |f_{\mathcal{I}}|</tex>;
:*<tex>S_0(x) = \Sigma_{w \in \mathcal{I}_0(x)} w</tex>;
:*<tex>S_1(x) = \Sigma_{w \in \mathcal{I}_1(x)} w</tex>;
:*<tex>\mathcal{I}_{max(x)}</tex> &mdash; множество элементов, принадлежащих корзине с большим весом. Например, <tex>\mathcal{I}_{max(x)} = \mathcal{I}_0</tex> если <tex>S_0(x) \geq S_1(x)</tex>;
:*<tex>w_{max} = \max \mathcal{I}</tex> &mdash; элемент с максимальным весом.

Общая идея алгоритма состоит в следующем:
:*генерируется строка, такая, что все ее элементы находятся в одной корзине (с большой вероятностью это можно сделать за <tex>4n \log(n)</tex> запросов);
:*за <tex>2n \log(n)</tex> шагов с помощью <tex>RLS(\cdot)</tex> опеределяются веса всех элементов (с большой вероятностью);
:*за <tex>3n \log(n)</tex> шагов восстанавливаетчся решение (с большой вероятностью).

Следующий алгоритм является доказательством теоремы:

  1 '''Инициализация'''
  2 <tex>x^{(1,0)} \leftarrow uniform()</tex>. Запрос <tex>f(x^{(1,0)})</tex>;
  3 '''Перемещение всех элементов в одну корзину'''
  4 '''for''' <tex>t = 1</tex> '''to''' <tex>2n \log(n)</tex> '''do'''
  5   <tex>x^{(1,t)} \leftarrow RLS(x^{(1,0)})</tex>. Запрос <tex>f(x^{(1,t)})</tex>;
  6 Пусть <tex>l \in \arg \max_{0 \leq t \leq 2n \log(n)} f(x^{(1,t)})</tex>;
  7 <tex>x \leftarrow x^{(1,l)}</tex>;
  8 '''for''' <tex>t = 2n \log(n) + 1</tex> '''to''' <tex>4n \log(n)</tex> '''do'''
  9   <tex>y \leftarrow RLS(x)</tex>. Запрос <tex>f(y)</tex>;
 10   '''if''' <tex>f(y) > f(x)</tex> '''then''' <tex>x \leftarrow y</tex>;
 11 '''Определение весов всех элементов'''
 12 '''for''' <tex>t = 1</tex> '''to''' <tex>2n \log(n)</tex> '''do'''
 13   <tex>x^{(2,t)} \leftarrow RLS(x)</tex>. Запрос <tex>f(x^{(2,t)})</tex>;
 14 '''Оптимизация'''
 15 В оффлайне перебором вычисляется оптимальное решение <tex>(\mathcal{O}_0, \mathcal{O}_1)</tex>, такое что <tex>w_{max} \in \mathcal{O}_1</tex>. <tex>\mathcal{M} \leftarrow \mathcal{O}_1</tex>;
 16 '''for''' <tex>t = 1</tex> '''to''' <tex>2n \log(n)</tex> '''do'''
 17   <tex>x^{(3,t)} \leftarrow RLS(x)</tex>. Запрос <tex>f(x^{(3,t)})</tex>;
 18   '''if''' <tex>f(x) > 2w_{max}</tex> '''and''' <tex>f(x^{(3,t)}) < f(x)</tex> '''then'''
 19     вычислить <tex>w := (f(x) - f(x^{(3,t)})) / 2</tex>;
 20     '''if''' <tex>w \neq w_{max}</tex> '''and''' <tex>w \in \mathcal{M}</tex> '''then'''
 21       <tex>x \leftarrow x^{(3,t)}; \mathcal{M} \leftarrow \mathcal{M} \backslash w</tex>;
 22 '''for''' <tex>t = 1</tex> '''to''' <tex>n \log(n)</tex> '''do'''
 23   <tex>x^{(4,t)} \leftarrow RLS(x)</tex>. Запрос <tex>f(x^{(4,t)})</tex>;

Можно показать, что приведенный алгоритм с большой вероятностью за <tex>O(n \log(n))</tex> запросов находит оптимальное решение. Полное доказательство приведено в работе <ref name="bbox"/>.

}}

== Ссылки ==
<references/>