J2ni2Cmax — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство корректности алгоритма)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 57 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Постановка задачи==
+
<tex dpi = 200>J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}</tex>
Рассмотрим задачу:
+
{{Задача
<ol>
+
|definition=Рассмотрим задачу:
<li>Дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка.</li>
+
*Дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка.
<li>Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{i}</tex>.</li>
+
*Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{ij}</tex>.
<li>Для каждой работы известна последовательность станков - порядок, в котором нужно выполнить работу. <tex>1</tex>.</li>
+
*Для каждой работы известна последовательность <tex>O_{i1}, \ O_{i2} \ \ldots \ O_{ik}</tex> станков {{---}} порядок, в котором нужно выполнить работу.  
<li>Длина любой последовательности <tex><=2</tex>.
+
*В каждой последовательности <tex>O_{i}</tex> не более двух элементов.
</ol>
+
Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ. }}
Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.
 
  
 
==Описание алгоритма==
 
==Описание алгоритма==
<tex>M_{1}</tex> - первый станок. <tex>M_{2}</tex> - второй станок.  
+
<tex>M_{1}</tex> {{---}} первый станок. <tex>M_{2}</tex> {{---}} второй станок.  
  
 
Разобьем все работы на четыре множества:
 
Разобьем все работы на четыре множества:
<ol>
+
#<tex>I_{1}</tex> {{---}} множество всех работ, которые должны выполниться только на <tex>M_{1}</tex>.
<li><tex>I_{1}</tex> - множество всех работ, которые должны выполнится только на <tex>M_{1}</tex>. </li>
+
#<tex>I_{2}</tex> {{---}} множество всех работ, которые должны выполниться только на <tex>M_{2}</tex>.  
<li><tex>I_{2}</tex> - множество всех работ, которые должны выполнится только на <tex>M_{2}</tex>. </li>
+
#<tex>I_{12}</tex> {{---}} множество всех работ, которые должны выполниться сначала на <tex>M_{1}</tex> затем на <tex>M_{2}</tex>.
<li><tex>I_{12}</tex> - множество всех работ, которые должны выполнится сначала на <tex>M_{1}</tex> затем на <tex>M_{2}</tex>. </li>
+
#<tex>I_{21}</tex> {{---}} множество всех работ, которые должны выполниться сначала на <tex>M_{2}</tex> затем на <tex>M_{1}</tex>.
<li><tex>I_{21}</tex> - множество всех работ, которые должны выполнится сначала на <tex>M_{2}</tex> затем на <tex>M_{1}</tex>. </li>
+
Решим задачу [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для <tex>I_{12}</tex> и для <tex>I_{21}</tex> независимо. Получим расписание <tex>S_{12}</tex> и <tex>S_{21}</tex>.
</ol>
 
Решим задачу [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для <tex>I_{12}</tex> и для <tex>I_{21}</tex>. Получим расписание <tex>S_{12}</tex> и <tex>S_{21}</tex>.
 
  
 
Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:
 
Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:
<ol>
+
* Расписание <tex>M_{1}</tex>: сначала <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{12}</tex>. Затем <tex>I_{1}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с <tex>S_{21}</tex>.  
<li>Расписание <tex>M1</tex> : сначала <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{12}</tex>. Затем <tex>I_{1}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с <tex>S_{21}</tex>. </li>
+
* Расписание <tex>M_{2}</tex>: сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</tex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>.
  
<li>Расписание <tex>M_{2}</tex> : сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</tex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>. </li>
+
'''Примечание''': во время выполнения <tex>I_{21}</tex> на <tex>M_{1}</tex> или <tex>I_{12}</tex> на <tex>M_{2}</tex> могут возникнуть простои  
</ol>
 
Примечание: во время выполнения <tex>I_{21}</tex> на <tex>M_{1}</tex> или <tex>I_{12}</tex> на <tex>M_{2}</tex> могут возникнуть простои  
 
 
из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.
 
из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.
  
 
==Доказательство корректности алгоритма==
 
==Доказательство корректности алгоритма==
<tex>T_{i}(x)</tex> - время выполнения множества работ <tex>x</tex> на станке <tex>i</tex>.
+
<tex>T_{j}(x)</tex> {{---}} время выполнения множества работ <tex>x</tex> на станке <tex>j</tex>.
  
 +
<tex>G_{j}</tex> {{---}} множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на <tex>j</tex>-м станке, то есть <tex>G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}</tex>.
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id=lemma1  
 
|id=lemma1  
 
|statement=
 
|statement=
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством : один из станков работает без простоев.
+
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством: один из станков работает без простоев.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим 2 варианта:
+
Рассмотрим два случая:
<li><tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) >= T_{2}(I_{21}) </tex>.  
+
#<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) \geqslant T_{2}(I_{21}) </tex>.<br>Тогда <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{1}</tex> на <tex> M_{1} </tex> все работы <tex>I_{21}</tex> выполнены на <tex>M_{2}</tex>.
Тогда <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения <tex>I_{1}</tex> на <tex> M_{1} </tex> все работы <tex>I_{21}</tex> выполнены на <tex>M_{2}</tex>.  
+
#<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.<br>Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex> .  
  
 
<li>
 
Иначе <tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.
 
Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex> .
 
  
 
}}
 
}}
Строка 52: Строка 44:
 
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
 
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
 
|proof=
 
|proof=
 +
[[Файл: j2ni2cmax.jpg|400px|thumb|right|
 +
Рис. 1 {{---}} Расположение  работ.
 +
<br>
 +
В серой области могут быть прерывания.
 +
]]
 
Корректность алгоритма очевидна.
 
Корректность алгоритма очевидна.
 
Докажем оптимальность.
 
Докажем оптимальность.
 +
 
Пусть, для опеределенности <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний.
 
Пусть, для опеределенности <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний.
Рассмотрим станок на котором достигается <tex>C_{max}</tex> . Если это <tex>M_{1}</tex>, то оптимальность очевидна(<tex>C_{max} >= \sum\limits_{i \in G_{1}} p_i </tex>)
 
  
Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>.
+
Рассмотрим станок на котором достигается <tex>C_{max}</tex> .
Тогда ответ равен решению задачи f2cmax для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален.
+
*Если это <tex>M_{1}</tex>, то оптимальность очевидна <tex>(C_{max} \geqslant \sum\limits_{i \in G_{1}} p_{i1})</tex>.
 +
*Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>.
 +
Тогда либо <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний и оптимальность очевидна.
 +
Или есть прерывания.
 +
Тогда целевая функция равна ответу задачи [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален.
  
 
}}
 
}}
  
 
==Сложность алгоритма==
 
==Сложность алгоритма==
Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма  [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]].
+
Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма  [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]], то есть <tex>O(n\log n)</tex>.
  
Сложность алгоритма <tex>O(n\log n)</tex>.
+
==Источники информации==
 +
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 179 {{---}} 180 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]

Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022

[math]J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}[/math]

Задача:
Рассмотрим задачу:
  • Дано [math]n[/math] работ и [math]2[/math] станка.
  • Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке [math]p_{ij}[/math].
  • Для каждой работы известна последовательность [math]O_{i1}, \ O_{i2} \ \ldots \ O_{ik}[/math] станков — порядок, в котором нужно выполнить работу.
  • В каждой последовательности [math]O_{i}[/math] не более двух элементов.
Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.


Описание алгоритма

[math]M_{1}[/math] — первый станок. [math]M_{2}[/math] — второй станок.

Разобьем все работы на четыре множества:

  1. [math]I_{1}[/math] — множество всех работ, которые должны выполниться только на [math]M_{1}[/math].
  2. [math]I_{2}[/math] — множество всех работ, которые должны выполниться только на [math]M_{2}[/math].
  3. [math]I_{12}[/math] — множество всех работ, которые должны выполниться сначала на [math]M_{1}[/math] затем на [math]M_{2}[/math].
  4. [math]I_{21}[/math] — множество всех работ, которые должны выполниться сначала на [math]M_{2}[/math] затем на [math]M_{1}[/math].

Решим задачу [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math] для [math]I_{12}[/math] и для [math]I_{21}[/math] независимо. Получим расписание [math]S_{12}[/math] и [math]S_{21}[/math].

Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:

  • Расписание [math]M_{1}[/math]: сначала [math]I_{12}[/math] в соответсвии с расписанием [math]S_{12}[/math]. Затем [math]I_{1}[/math] в произвольном порядке. Затем [math]I_{21}[/math] в соответсвии с [math]S_{21}[/math].
  • Расписание [math]M_{2}[/math]: сначала [math]I_{21}[/math] в соответсвии с расписанием [math]S_{21}[/math]. Затем [math]I_{2}[/math] в произвольном порядке. Затем [math]I_{12}[/math] в соответсвии с [math]S_{12}[/math].

Примечание: во время выполнения [math]I_{21}[/math] на [math]M_{1}[/math] или [math]I_{12}[/math] на [math]M_{2}[/math] могут возникнуть простои из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.

Доказательство корректности алгоритма

[math]T_{j}(x)[/math] — время выполнения множества работ [math]x[/math] на станке [math]j[/math].

[math]G_{j}[/math] — множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на [math]j[/math]-м станке, то есть [math]G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}[/math].

Лемма:
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством: один из станков работает без простоев.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим два случая:

  1. [math]T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) \geqslant T_{2}(I_{21}) [/math].
    Тогда [math]M_{1}[/math] работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения [math]I_{1}[/math] на [math] M_{1} [/math] все работы [math]I_{21}[/math] выполнены на [math]M_{2}[/math].
  2. [math]T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) \lt T_{2}(I_{21}) [/math].
    Тогда [math]M_{2}[/math] работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения [math]I_{2}[/math] на [math] M_{2} [/math] все работы [math]I_{12}[/math] выполнены на [math]M_{1}[/math] .
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 1 — Расположение работ.
В серой области могут быть прерывания.

Корректность алгоритма очевидна. Докажем оптимальность.

Пусть, для опеределенности [math]M_{1}[/math] работает без прерываний.

Рассмотрим станок на котором достигается [math]C_{max}[/math] .

  • Если это [math]M_{1}[/math], то оптимальность очевидна [math](C_{max} \geqslant \sum\limits_{i \in G_{1}} p_{i1})[/math].
  • Иначе [math]C_{max}[/math] достигается на [math]M_{2}[/math].

Тогда либо [math]M_{2}[/math] работает без прерываний и оптимальность очевидна. Или есть прерывания.

Тогда целевая функция равна ответу задачи [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math] для работ [math]I_{21}[/math], который оптимален.
[math]\triangleleft[/math]

Сложность алгоритма

Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math], то есть [math]O(n\log n)[/math].

Источники информации

  • Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» — «Springer», 2006 г. — 179 — 180 стр. — ISBN 978-3-540-69515-8