J2pij1Lmax — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{в разработке}}
 
{{в разработке}}
Дано <tex>n</tex> работ <tex>i = 1,...,n</tex> и две машины, обозначенные как A и B. <tex>i</tex>-тая работа состоит из <tex>n_i</tex> операций <tex>O_{ij} (j = 1,..n_i)</tex>, которые должны быть выполнены последовательно и, при этом, если <tex>O_{ij} </tex>операция была совершена на машине <tex>A (B)</tex>, то операция <tex>O_{i,j-1}</tex> должна быть совершена на машине <tex>B (A)</tex>. Таким образом, <tex>i</tex>-тая работа может характеризоваться двумя значениями: количество операций <tex>n_i</tex> и машина, на которой была совершена первая операция. Пусть <tex>r = \Sum(i=1..n) N_i</tex> {{---}} общее количество операций.
+
Дано <tex>n</tex> работ <tex>i = 1,...,n</tex> и две машины, обозначенные как A и B. <tex>i</tex>-тая работа состоит из <tex>n_i</tex> операций <tex>O_{ij} (j = 1,..n_i)</tex>, которые должны быть выполнены последовательно и, при этом, если <tex>O_{ij} </tex>операция была совершена на машине <tex>A (B)</tex>, то операция <tex>O_{i,j-1}</tex> должна быть совершена на машине <tex>B (A)</tex>. Таким образом, <tex>i</tex>-тая работа может характеризоваться двумя значениями: количество операций <tex>n_i</tex> и машина, на которой была совершена первая операция. Пусть <tex>r = \sum_{i=1}^n N_i</tex> {{---}} общее количество операций.
  
Допустим, самым ранним моментом, когда операция может начать выполняться, будет момент времени 0, а верхняя граница момента начала выполнения последней операции обозначим за <tex>t_{max}</tex>. К примеру, мы можем выбрать <tex>t_{max} = r</tex>. Тогда расписание можно представить как два массива <tex>A(t)</tex> и <tex>B(t) (t = 0,...,t_{max})</tex>, где <tex>A(t) = O_{ij}</tex>, если операция <tex>O_ij</tex> должна выполниться на машине <tex>A</tex> в момент времени <tex>t</tex> и <tex>A(t) =</tex><tex> (пусто)</tex>, если машина <tex>A</tex> простаивает в этот момент. Будем называть <tex>(пусто)</tex> пустой операцией. И для каждой операции <tex>O_{ij}</tex>, выполняющейся на машине <tex>A</tex> существует <tex>t</tex>, для которого <tex>A(t) = O_{ij}</tex>. Аналогично для <tex>B_i</tex>. Расписание достижимо тогда и только тогда, когда из <tex>A(t) (B(t)) = O_{ij} , 1 < j \le n_i</tex> следует <tex>O_{i,j-1} = B(s) (A(s))</tex> для некоторого <tex>s < t</tex>, и первая операция для каждой работы запланирована на нужной машине. Перестановку всех операций будем называть списком. Для данный списка <tex>L</tex> осуществимое расписание может быть создано следующим способом: планируем выполнять операции в порядке, соответствующим <tex>L</tex>, причем каждую операцию стараемся выполнить как можно раньше. Подобное расписание будем называть соответствующим <tex>L</tex> расписанием.   
+
Допустим, самым ранним моментом, когда операция может начать выполняться, будет момент времени 0, а верхняя граница момента начала выполнения последней операции обозначим за <tex>t_{max}</tex>. К примеру, мы можем выбрать <tex>t_{max} = r</tex>. Тогда расписание можно представить как два массива <tex>A(t)</tex> и <tex>B(t) (t = 0,...,t_{max})</tex>, где <tex>A(t) = O_{ij}</tex>, если операция <tex>O_ij</tex> должна выполниться на машине <tex>A</tex> в момент времени <tex>t</tex> и <tex>A(t) =</tex><tex> \emptyset</tex>, если машина <tex>A</tex> простаивает в этот момент. Будем называть <tex>\emptyset</tex> пустой операцией. И для каждой операции <tex>O_{ij}</tex>, выполняющейся на машине <tex>A</tex> существует <tex>t</tex>, для которого <tex>A(t) = O_{ij}</tex>. Аналогично для <tex>B_i</tex>. Расписание достижимо тогда и только тогда, когда из <tex>A(t) (B(t)) = O_{ij} , 1 < j \le n_i</tex> следует <tex>O_{i,j-1} = B(s) (A(s))</tex> для некоторого <tex>s < t</tex>, и первая операция для каждой работы запланирована на нужной машине. Перестановку всех операций будем называть списком. Для данный списка <tex>L</tex> осуществимое расписание может быть создано следующим способом: планируем выполнять операции в порядке, соответствующим <tex>L</tex>, причем каждую операцию стараемся выполнить как можно раньше. Подобное расписание будем называть соответствующим <tex>L</tex> расписанием.   
 
<tex>С_i</tex> {{---}} время окончания работы <tex>i</tex> в достижимом расписании <tex>y = (A(t), B(t))</tex> можно рассчитать как:
 
<tex>С_i</tex> {{---}} время окончания работы <tex>i</tex> в достижимом расписании <tex>y = (A(t), B(t))</tex> можно рассчитать как:
  
<tex>C_i = max{t + 1 | A(t)</tex> или <tex>B(t)</tex> {{---}} операция <tex>i</tex>-той работы}
+
<tex>C_i = max\{t + 1 | A(t)\}</tex> или <tex>B(t)</tex> {{---}} операция <tex>i</tex>-той работы}
  
 
Задача заключается в том, что для данного каждой работе <tex>i</tex> дедлайна <tex>d_i \ge 0</tex> мы хотим найти достижимое расписание с наименьшими максимальным временем опоздания:
 
Задача заключается в том, что для данного каждой работе <tex>i</tex> дедлайна <tex>d_i \ge 0</tex> мы хотим найти достижимое расписание с наименьшими максимальным временем опоздания:
Строка 29: Строка 29:
  
 
Давайте детально рассмотрим алгоритм. <tex>T1</tex> и <tex>T2</tex> обозначают первый период времени <tex>t \ge 0</tex>, когда соответсвующие машины <tex>A</tex> и <tex>B</tex> бездействуют. <tex>LAST(i)</tex> обозначает время окончания последней запланированной операции <tex>i</tex>-той работы. <tex>Z</tex> {{---}} множество работ, где <tex>d_i \ge r</tex>  
 
Давайте детально рассмотрим алгоритм. <tex>T1</tex> и <tex>T2</tex> обозначают первый период времени <tex>t \ge 0</tex>, когда соответсвующие машины <tex>A</tex> и <tex>B</tex> бездействуют. <tex>LAST(i)</tex> обозначает время окончания последней запланированной операции <tex>i</tex>-той работы. <tex>Z</tex> {{---}} множество работ, где <tex>d_i \ge r</tex>  
main()
 
for k:= -r + 1 to r - 1 do
 
L(k) := (empty);
 
Z := (empty);
 
for i:= 1 to n do
 
if d_i < r then
 
for j := 1 to n_i do
 
добавить O_{ij} в L(d_i - n_i + j)
 
else
 
добавить работу i в Z
 
for i := 1 to n do
 
LAST(i) := 0;
 
T1 := 0;
 
T2 := 0;
 
for k := -r + 1 to r - 1 do
 
while L(k) \ne (empty) do
 
Выбрать задание O_{ij} из L(k)
 
L(k) := L(k)\{O_{ij}};
 
schedule(O_{ij})
 
while z \ne (empty) do
 
Выбрать работу i из Z
 
Z := Z\{i};
 
for j := 1 to n_i
 
schedule(O_{ij})
 
  
schedule(O_{ij})
+
main()
if \mu_{ij} = A then do
+
  for k: -r + 1 to r - 1 do
if T1 < LAST(i) then do
+
    L(k) = \emptyset;
t := LAST(i)
+
Z := (empty);
A(t) := O_{ij}
+
for i:= 1 to n do
else
+
if d_i < r then
t := T1;
+
for j := 1 to n_i do
A(t) := O_{ij};
+
добавить O_{ij} в L(d_i - n_i + j)
while A(T_1) \ne (empty) do  
+
else
T1 := T1 + 1;
+
добавить работу i в Z
else
+
for i := 1 to n do
if T2 < LAST(i) then do
+
LAST(i) := 0;
t := LAST(i)
+
T1 := 0;
B(t) := O_{ij}
+
T2 := 0;
else
+
for k := -r + 1 to r - 1 do
t := T2;
+
while L(k) \ne \emptyset do
A(t) := O_{ij};
+
Выбрать задание O_{ij} из L(k)
while B(T_2) \ne (empty) do  
+
L(k) := L(k)\{O_{ij}};
T2 := T2 + 1;
+
schedule(O_{ij})  
LAST(i) := t + 1
+
while z \ne \emptyset do
 +
Выбрать работу i из Z
 +
Z := Z\{i};
 +
for j := 1 to n_i
 +
schedule(O_{ij})
 +
 
 +
 
 +
schedule(O_{ij})
 +
if \mu_{ij} = A then do
 +
if T1 < LAST(i) then do
 +
t := LAST(i)
 +
A(t) := O_{ij}
 +
else
 +
t := T1;
 +
A(t) := O_{ij};
 +
while A(T_1) \ne \emptyset do  
 +
T1 := T1 + 1;
 +
else
 +
if T2 < LAST(i) then do
 +
t := LAST(i)
 +
B(t) := O_{ij}
 +
else
 +
t := T2;
 +
A(t) := O_{ij};
 +
while B(T_2) \ne \emptyset do  
 +
T2 := T2 + 1;
 +
LAST(i) := t + 1
  
 
Очевидно, что количество шагов алгоритма ограничено <tex>O(r)</tex>
 
Очевидно, что количество шагов алгоритма ограничено <tex>O(r)</tex>

Версия 21:05, 21 июня 2012

Эта статья находится в разработке!

Дано [math]n[/math] работ [math]i = 1,...,n[/math] и две машины, обозначенные как A и B. [math]i[/math]-тая работа состоит из [math]n_i[/math] операций [math]O_{ij} (j = 1,..n_i)[/math], которые должны быть выполнены последовательно и, при этом, если [math]O_{ij} [/math]операция была совершена на машине [math]A (B)[/math], то операция [math]O_{i,j-1}[/math] должна быть совершена на машине [math]B (A)[/math]. Таким образом, [math]i[/math]-тая работа может характеризоваться двумя значениями: количество операций [math]n_i[/math] и машина, на которой была совершена первая операция. Пусть [math]r = \sum_{i=1}^n N_i[/math] — общее количество операций.

Допустим, самым ранним моментом, когда операция может начать выполняться, будет момент времени 0, а верхняя граница момента начала выполнения последней операции обозначим за [math]t_{max}[/math]. К примеру, мы можем выбрать [math]t_{max} = r[/math]. Тогда расписание можно представить как два массива [math]A(t)[/math] и [math]B(t) (t = 0,...,t_{max})[/math], где [math]A(t) = O_{ij}[/math], если операция [math]O_ij[/math] должна выполниться на машине [math]A[/math] в момент времени [math]t[/math] и [math]A(t) =[/math][math] \emptyset[/math], если машина [math]A[/math] простаивает в этот момент. Будем называть [math]\emptyset[/math] пустой операцией. И для каждой операции [math]O_{ij}[/math], выполняющейся на машине [math]A[/math] существует [math]t[/math], для которого [math]A(t) = O_{ij}[/math]. Аналогично для [math]B_i[/math]. Расписание достижимо тогда и только тогда, когда из [math]A(t) (B(t)) = O_{ij} , 1 \lt j \le n_i[/math] следует [math]O_{i,j-1} = B(s) (A(s))[/math] для некоторого [math]s \lt t[/math], и первая операция для каждой работы запланирована на нужной машине. Перестановку всех операций будем называть списком. Для данный списка [math]L[/math] осуществимое расписание может быть создано следующим способом: планируем выполнять операции в порядке, соответствующим [math]L[/math], причем каждую операцию стараемся выполнить как можно раньше. Подобное расписание будем называть соответствующим [math]L[/math] расписанием. [math]С_i[/math] — время окончания работы [math]i[/math] в достижимом расписании [math]y = (A(t), B(t))[/math] можно рассчитать как:

[math]C_i = max\{t + 1 | A(t)\}[/math] или [math]B(t)[/math] — операция [math]i[/math]-той работы}

Задача заключается в том, что для данного каждой работе [math]i[/math] дедлайна [math]d_i \ge 0[/math] мы хотим найти достижимое расписание с наименьшими максимальным временем опоздания:

[math]max{C_i - d_i | i = 1, ..., n}[/math]

Следующий алгоритм решает эту задачу:

 * Введём для каждой операции [math]O_{ij}[/math] величину [math]l(O_{ij}) = d_i - n_i + j[/math]
 * Создадим список всех операций [math]L[/math], упорядоченный в порядке неубывания значений [math]l(O_{ij})[/math] 
 * Найдем соответствующее списку [math]L[/math] расписание.

Этот алгоритм может быть реализованным с асимптотикой [math]O(r \log r)[/math]. Однако, мы будем использовать эвристику с хешами и улучшим асимптотику алгоритма до [math]O(r)[/math].

Мы предполагаем, что [math]d_i \ge 0[/math] для [math]i = 1,...,n[/math] и хотя бы для одной работы [math]i[/math] [math]d_i = 0[/math]. Иначе, вычтем из всех [math]d_i[/math] минимальное значение по [math]d_i[/math]

Так как [math]C_i \ge 1[/math] для всех [math]i = 1,...,n[/math] и [math]d_i = 0[/math] справедливо [math]L_i = C_i - d_i \ge 1[/math] как минимум для одной работы [math]i[/math]. К тому же, можно предположить, что [math]C_i \le r[/math]. Таким образом, работы с [math]d_i \gt r - 1[/math], то есть c [math]L_i = C_i - d_i \lt 1[/math] можно смело игнорировать. Они не влияют на значение улучшаемой функции [math]max(L_i)[/math], так как для некого [math]i L_i \ge 1[/math] Можно выполнять эти работы в любом порядке после всех остальных. Для оставшихся операций [math]O_{ij}[/math] мы имеем:

[math]-r + 1 \le l(O_{ij}) = d_i - n_i + j \le r - 1[/math]

Каждую операцию мы кладём в соответствующую корзину [math]L(k)[/math], где [math]k = l(O_{ij}) = d_i - n_i + j(-r + 1 \le k \le r - 1)[/math]. На втором шаге мы планируем операции соответственно возрастающему по номеру корзины [math]k[/math] порядку, где операции из одной корзины могут выполнятся в произвольном порядке.

Давайте детально рассмотрим алгоритм. [math]T1[/math] и [math]T2[/math] обозначают первый период времени [math]t \ge 0[/math], когда соответсвующие машины [math]A[/math] и [math]B[/math] бездействуют. [math]LAST(i)[/math] обозначает время окончания последней запланированной операции [math]i[/math]-той работы. [math]Z[/math] — множество работ, где [math]d_i \ge r[/math]

main()
  for k: -r + 1 to r - 1 do
    L(k) = \emptyset;
		Z := (empty);
	for i:= 1 to n do
		if d_i < r then
			for j := 1 to n_i do
				добавить O_{ij} в L(d_i - n_i + j)
		else
			добавить работу i в Z
	for i := 1 to n do
		LAST(i) := 0;
	T1 := 0;
	T2 := 0;
	for k := -r + 1 to r - 1 do
		while L(k) \ne \emptyset do
			Выбрать задание O_{ij} из L(k)
			L(k) := L(k)\{O_{ij}};
			schedule(O_{ij}) 
	while z \ne \emptyset do
		Выбрать работу i из Z
			Z := Z\{i};
			for j := 1 to n_i
				schedule(O_{ij}) 	


schedule(O_{ij})
	if \mu_{ij} = A then do
		if T1 < LAST(i) then do
			t := LAST(i)
			A(t) := O_{ij}
		else
			t := T1;
			A(t) := O_{ij};
			while A(T_1) \ne \emptyset do 
				T1 := T1 + 1;
	else
		if T2 < LAST(i) then do
			t := LAST(i)
			B(t) := O_{ij}
		else
			t := T2;
			A(t) := O_{ij};
			while B(T_2) \ne \emptyset do 
				T2 := T2 + 1;
	LAST(i) := t + 1

Очевидно, что количество шагов алгоритма ограничено [math]O(r)[/math]