LR(1)-разбор

<wikitex> В некоторых случаях SLR-разбор может дать неправильный результат разбора. В таких случаях используют более сложные методы, такие как $LR(1)$ и $LALR$ - разбор. Рассмотрим первый из них. </wikitex>

Отличия от SLR-разбора

<wikitex> Основным отличием $LR(1)$ - разбора от SLR-разбора является использование предпросмотра (англ. lookahead) символов.

Приведём пример, ситуации, в которой SLR-разбор не справится с задачей:

Рассмотрим грамматику вида: $ S \to L=R | R \\ L \to *R | id \\ R \to L $

Покажем её канонический LR(0) - набор:

$I_0$	$I_1$	$I_2$	$I_3$	$I_4$	$I_5$	$I_6$	$I_7$	$I_8$	$I_9$
$S' \to \cdot S \\ S \to \cdot L = R \\ S \to \cdot R \\ L \to \cdot * R \\ L \to \cdot id \\ R \to \cdot L$	$S' \to S \cdot$	$S \to L \cdot = R \\ R \to L \cdot$	$S \to R \cdot$	$L \to * \cdot R \\ R \to \cdot L \\ L \to \cdot * R \\ L \to \cdot id$	$L \to id \cdot$	$S \to L = \cdot R \\ R \to \cdot L \\ L \to \cdot * R \\ L \to \cdot id$	$L \to * R \cdot$	$R \to L \cdot$	$S \to L = R \cdot$

Рассмотрим пункт $I_2$. Если SLR-парсер находится в состоянии $I_2$ и очередной входной символ равен $=$, то парсер выполняет свёртку в соответствии с продукцией $R \to L$, что неверно, т.к. в этой грамматике не выводится выражение $R=...$ и парсер должен был выполнить перенос, а не свёртку.

Чтобы решить эту проблему, необходимо хранить в пункте больший объём информации, который позволит не делать таких ошибочных свёрток </wikitex>

Канонические LR(1)-пункты

<wikitex> Основная идея заключается в том, чтобы хранить в пунктах больше информации, чтобы не производить некорректных свёрток. Добавим в пункт второй компонент: терминальный символ. Таким образом, $LR(1)$ -пункты будут выглядеть следующим образом:

$[A\rightarrow\alpha\cdot\beta, a]$, где первая часть - продукция, а вторая - терминал или маркер конца входной строки $\char36$. Здесь $a$ называется предпросмотром (англ. lookahead) пункта, а цифра $1$ в $LR(1)$ означает его длину. Теперь мы будем выполнять свёртку в соответствии с продукцией $A\rightarrow\alpha$, только в том случае, если пункт $[A\rightarrow\alpha\cdot\beta, a]$ принадлежит состоянию на вершине стека, и $a$ - входной символ.

Определение:

Назовём $LR(1)$ - пункт $[A\rightarrow\alpha\cdot\beta, a]$ допустимым (англ. valid) для активного префикса $\gamma$, если существует правое порождение $S\Rightarrow^{*}\delta A w\Rightarrow\delta\alpha\beta w$, где верно одно из трёх: $\gamma=\delta\alpha$ $a$ является первым символом $w$ $w=\epsilon$ и $a=\char36$

</wikitex>

Построение множеств LR(1)-пунктов

<wikitex> Метод построения похож на метод для $LR(0)$ - разбора, с двумя изменёнными функциями: $CLOSURE(I)$ - замыкание множества пунктов, и $GOTO(X,I)$ - функция переходов в автомате по символу $X$.

Лемма:

$$\forall{b}

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пункт вида $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$ в множестве пунктов, допустимых для некоторого активного префикса $\gamma$. Тогда существует правое порождение $S\Rightarrow^{*}\delta Aax\Rightarrow\delta\alpha B\beta ax$, где $\gamma=\delta\alpha$. Предположим, что $\beta ax$ порождает строку терминалов $by$. Тогда для каждой продукции вида $\forall{B\rightarrow\eta}\exists{\eta}$ мы имеем порождение $ S\Rightarrow^{*}\delta Bby\Rightarrow\delta\eta by$. Таким образом, $[B\rightarrow\cdot\eta,b]$ является допустимым для $\gamma$. Заметим, что $b$ может быть первым терминалом, порожденным из $\beta$, либо, возможно что $\beta$ порождает $\epsilon$ слева: $\beta ax\Rightarrow^{*}by$, следовательно $b=a$. Таким образом, $b\in FIRST(\beta ax)$. Поскольку $x$ не может содержать первый терминал из $by$, то $FIRST(\beta ax)=FIRST(\beta a)$ Значит, $b\in FIRST(\beta a)$.

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>

Псевдокод

<wikitex> Псевдокод построения множеств $CLOSURE$ и $GOTO$, а также множества пунктов $items$:

 Set<Item> CLOSURE(Set<Item> I):
     bool changed;
     Set<Item> $J$=$I$;   
     repeat
         changed = false;
         for $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]\in I$
             for $(B\rightarrow\gamma)\in G'$
                 for $b\in FIRST(\beta\alpha)$
                     J.add($[B\rightarrow\cdot\gamma,b]$);
                     changed = true
     until !changed;
     return J;

 Set<Item> GOTO(Set<Item> I, X):
     Set<Item> $J$=$\varnothing$;   
     for $[A\rightarrow\alpha\cdot X\beta, a]\in I$
         J.add($[A\rightarrow\alpha X\cdot\beta, a]$);
     return $CLOSURE(J)$;

 Set<Set<Item>> items($G'$):
     bool changed;
     Set<Set<Item>> $C$ = $\{CLOSURE({S'\rightarrow\cdot S,\char36})\}$;   
     repeat
         changed = false;
         for Set<Item> $I\subset C$
             for $X \in symbols(G')$ //по всем символам грамматики
                 if $GOTO(I,X)\neq\varnothing$ and $GOTO(I,X)\not\subset C$
                     C.add($GOTO(I,X)$);
                     changed = true
     until !changed;
     return C;

</wikitex>

Пример

<wikitex> Рассмотрим следующую грамматику $G'$:

• $S'\rightarrow S$
• $S\rightarrow CC$
• $S\rightarrow cC|d$

Запустим процедуру $items(G')$. Она начинается с вычисления $CLOSURE([S\rightarrow S', \char36])$. Это правило вида $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$, где $A=S';\alpha=\epsilon;B=S;\beta=\epsilon;a=\char36$. Т.к. в таком случае $FIRST(\beta\alpha) = {\char36}$, то мы добавим только правило $[S\rightarrow\cdot CC,\char36]$.

Продолжив вычислять замыкание таким образом, мы добавим во множество пунктов $[C\rightarrow\cdot C, c]$, $C\rightarrow\cdot C, d]$, $C\rightarrow\cdot d, c]$, и $C\rightarrow\cdot d, d]$. Т.к. ни один из новых пунктов не имеет вид $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$ (справа от точки во всех пунктах терминалы), то функция $CLOSURE$ завершает свою работу и начальное множество пунктов в данном случае равно:

Рис. 1 Множества пунктов и их переходы

$$I_0: \{[S'\rightarrow \cdot S, \char36],[S\rightarrow\cdot CC,\char36],[C\rightarrow\cdot C, c/d],[C\rightarrow\cdot d, c/d]\}$$ Следующим шагом процедуры $items$ будет вычисление функции переходов автомата $GOTO(I_0,X)$ для всех символов $X$ грамматики $G'$:

При $X=S$: $$CLOSURE({[S'\rightarrow S\cdot,\char36]}) = \varnothing$$ Мы не добавили ни одного пункта, т.к. точка является крайней справа. Таким образом, $$I_1: \{[S'\rightarrow S\cdot,\char36]\}$$ При $X=C$: $$I_2 = CLOSURE(\{[S\rightarrow C\cdot C,\char36]\})$$ $$I_2 = \{[S\rightarrow C\cdot C,\char36],[C\rightarrow\cdot cC,\char36],[C\rightarrow\cdot d,\char36]\}$$ При $X=c$: $$I_3 = CLOSURE(\{[C\rightarrow c\cdot C,c/d]\})$$ $$I_3 = \{[C\rightarrow c\cdot C,c/d],[C\rightarrow\cdot cC,c/d],[C\rightarrow\cdot d,c/d]\}$$ При $X=d$: $$I_4 = CLOSURE(\{[C\rightarrow d\cdot ,c/d]\})$$ $$I_4 = \{[C\rightarrow d\cdot,c/d]\}$$ На этом завершается выполнение цикла из процедуры $items$ для $I_0$. $$GOTO(I_1, *)=\varnothing$$ $$I_5 = GOTO(I_2, C) = CLOSURE(\{[S\rightarrow CC\cdot,\char36]\})=\{[S\rightarrow CC\cdot,\char36]\}$$ $$I_6 = GOTO(I_2, c) = CLOSURE(\{[C\rightarrow c\cdot C,\char36]\})$$ $$I_6=\{[C\rightarrow c\cdot C,\char36],[C\rightarrow \cdot cC,\char36],[C\rightarrow \cdot d,\char36]\}$$ Обратим внимание, что $I_6$ отличается от $I_3$ только правыми частями пунктов. Такое явление является частым в $LR(1)$-анализе, из-за него результирующая таблица будет неоправданно большой. $LALR$-анализ борется с этим явлением. Продолжим: $$I_7 = GOTO(I_2, d) = CLOSURE(\{[C\rightarrow d\cdot ,\char36]\}) = \{[C\rightarrow d\cdot ,\char36]\}$$ На этом рассмотрение $GOTO(I_2)$ завершено, переходим к $GOTO(I_3)$: $$I_8 = GOTO(I_3, C) = CLOSURE(\{[C\rightarrow cC\cdot ,c/d]\}) = \{[C\rightarrow cC\cdot ,c/d]\}$$ В множествах $I_4$ и $I_5$ все пункты имеют точки в крайнем положении справа, следовательно эти множества не имеют $GOTO$ $$GOTO(I_6, c) = I_6$$ $$GOTO(I_6, d) = I_7$$ $$I_9 = GOTO(I_6, C) = \{[C\rightarrow cC\cdot,\char36]\}$$ Остальные множества пунктов не дают нам значений $GOTO$, процедура $items$ завершает работу. </wikitex>

Канонические LR(1)-таблицы

Алгоритм

// вход: [math]G'[/math] — расширенная грамматика
// выход: таблица канонического [math]LR[/math]-анализа с функциями [math]ACTION[/math] и [math]GOTO[/math]
function [math]\mathtt{getLR1LexTable}(G'):[/math]
   [math] C'(G') \leftarrow \{I_0,I_1..I_n\}[/math] // множество канонических пунктов для [math]G'[/math]
   [math]\mathtt{fillArray}(ACTION,[/math]"ошибка"[math] ):[/math]
   foreach [math]I_i \in (E(G))\[/math]
       if [math][A\rightarrow \alpha\cdot a\beta, b] \in I_i[/math] здесь [math]a[/math] - терминал
           [math]ACTION[i,a] = [/math] "перенос [math]j[/math]"
       if [math][A\rightarrow \alpha\cdot, a] \in I_i[/math] && [math]A\neq S'[/math] 
           [math]ACTION[i,a] = [/math] "свертка [math]A\rightarrow a[/math]"
       if [math][S'\rightarrow S\cdot, \char36] \in I_i[/math]
           [math]ACTION[i,\char36] = [/math] "принятие"
       if [math]GOTO(I_i,A) = I_j[/math]
           [math]GOTO[i,A]\leftarrow j[/math]

Если в процессе построения обнаружатся конфликтующие действия - это значит, что грамматика не принадлежит классу [math]LR(1)[/math]

Таблица, построенная в результате применения алгоритм называется канонической таблицей [math]LR(1)[/math] - анализа.

Пример

<wikitex> Рассмотрим следующую грамматику $G'$:

• $S'\rightarrow S$
• $S\rightarrow CC$
• $S\rightarrow cC|d$

Запустим процедуру $items(G')$. Она начинается с вычисления $CLOSURE([S\rightarrow S', \char36])$. Это правило вида $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$, где $A=S';\alpha=\epsilon;B=S;\beta=\epsilon;a=\char36$. Т.к. в таком случае $FIRST(\beta\alpha) = {\char36}$, то мы добавим только правило $[S\rightarrow\cdot CC,\char36]$.

Продолжив вычислять замыкание таким образом, мы добавим во множество пунктов $[C\rightarrow\cdot C, c]$, $C\rightarrow\cdot C, d]$, $C\rightarrow\cdot d, c]$, и $C\rightarrow\cdot d, d]$. Т.к. ни один из новых пунктов не имеет вид $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$ (справа от точки во всех пунктах терминалы), то функция $CLOSURE$ завершает свою работу и начальное множество пунктов в данном случае равно:

Рис. 1 Множества пунктов и их переходы

$$I_0: \{[S'\rightarrow \cdot S, \char36],[S\rightarrow\cdot CC,\char36],[C\rightarrow\cdot C, c/d],[C\rightarrow\cdot d, c/d]\}$$ Следующим шагом процедуры $items$ будет вычисление функции переходов автомата $GOTO(I_0,X)$ для всех символов $X$ грамматики $G'$:

При $X=S$: $$CLOSURE({[S'\rightarrow S\cdot,\char36]}) = \varnothing$$ Мы не добавили ни одного пункта, т.к. точка является крайней справа. Таким образом, $$I_1: \{[S'\rightarrow S\cdot,\char36]\}$$ При $X=C$: $$I_2 = CLOSURE(\{[S\rightarrow C\cdot C,\char36]\})$$ $$I_2 = \{[S\rightarrow C\cdot C,\char36],[C\rightarrow\cdot cC,\char36],[C\rightarrow\cdot d,\char36]\}$$ При $X=c$: $$I_3 = CLOSURE(\{[C\rightarrow c\cdot C,c/d]\})$$ $$I_3 = \{[C\rightarrow c\cdot C,c/d],[C\rightarrow\cdot cC,c/d],[C\rightarrow\cdot d,c/d]\}$$ При $X=d$: $$I_4 = CLOSURE(\{[C\rightarrow d\cdot ,c/d]\})$$ $$I_4 = \{[C\rightarrow d\cdot,c/d]\}$$ На этом завершается выполнение цикла из процедуры $items$ для $I_0$. $$GOTO(I_1, *)=\varnothing$$ $$I_5 = GOTO(I_2, C) = CLOSURE(\{[S\rightarrow CC\cdot,\char36]\})=\{[S\rightarrow CC\cdot,\char36]\}$$ $$I_6 = GOTO(I_2, c) = CLOSURE(\{[C\rightarrow c\cdot C,\char36]\})$$ $$I_6=\{[C\rightarrow c\cdot C,\char36],[C\rightarrow \cdot cC,\char36],[C\rightarrow \cdot d,\char36]\}$$ Обратим внимание, что $I_6$ отличается от $I_3$ только правыми частями пунктов. Такое явление является частым в $LR(1)$-анализе, из-за него результирующая таблица будет неоправданно большой. $LALR$-анализ борется с этим явлением. Продолжим: $$I_7 = GOTO(I_2, d) = CLOSURE(\{[C\rightarrow d\cdot ,\char36]\}) = \{[C\rightarrow d\cdot ,\char36]\}$$ На этом рассмотрение $GOTO(I_2)$ завершено, переходим к $GOTO(I_3)$: $$I_8 = GOTO(I_3, C) = CLOSURE(\{[C\rightarrow cC\cdot ,c/d]\}) = \{[C\rightarrow cC\cdot ,c/d]\}$$ В множествах $I_4$ и $I_5$ все пункты имеют точки в крайнем положении справа, следовательно эти множества не имеют $GOTO$ $$GOTO(I_6, c) = I_6$$ $$GOTO(I_6, d) = I_7$$ $$I_9 = GOTO(I_6, C) = \{[C\rightarrow cC\cdot,\char36]\}$$ Остальные множества пунктов не дают нам значений $GOTO$, процедура $items$ завершает работу. </wikitex>