Редактирование: Level Ancestor problem

'''Задача о уровне предка''' (англ. "Level Ancestor problem") является задачей о превращении данного подвешенного дерева <tex>T</tex> в структуру данных, которая сможет определить предка любого узла на заданном расстоянии от корня дерева.

{{Задача
|definition = Дано подвешенное дерево <tex>T</tex> c <tex>n</tex> вершинами. Поступают запросы вида <tex>LA(v, k)</tex>, для каждого из которых необходимо
найти предка вершины <tex>v</tex>, который находится на расстоянии <tex>k</tex> от корня дерева <tex>T</tex>.
}}
== Использование Heavy-light декомпозиции ==
[[Файл:LevelAncestor.png|200px|thumb|right]]
Этот алгоритм базируется на различных способах [[Heavy-light декомпозиция | декомпозиции дерева]] (выберем heavy-light декомпозицию), из свойств этого разбиения следует,
что подняться на любую высоту из вершины <tex>v</tex> мы можем за время <tex>O(\log n)</tex>.
Данное разбиение можно строить за <tex>O(n)</tex>, что дает нам алгоритм за <tex>\langle O(n), O(\log n) \rangle</tex>.

В данном примере поступает запрос LA(v,2), на который алгоритм должен дать ответ h.

== Алгоритм лестниц ==
=== Longest path decomposition ===
Разобьем все вершины на пути следующим образом. Обойдем дерево с помощью обхода в глубину, пусть мы стоим в вершине
<tex>v</tex>, обойдем всех ее детей, добавив <tex>v</tex> в путь, идущий в самое глубокое поддерево,
т.е. в котором находится вершина с самой большой глубиной.
Для каждой вершины сохраним номер пути в который она входит.
=== Ladder decomposition ===
Увеличим каждый путь в два раза вверх, для каждого нового пути сохраним все входящие в него вершины,
а для каждой вершины сохраним ее номер в пути, в который она входит. Построение обычной longest-path декомпозиции займет у
нас <tex>O(n)</tex> времени (обход в глубину), соответственно удлиннение каждого пути ухудшит асимптотику до  <tex>O(n \log n)</tex>.

После этого посчитаем двоичные подъемы для каждой вершины за <tex>O(\log n)</tex>, что соответственно не ухудшит асимптотику.

=== Псевдокод ===

Пусть после этого нам пришел запрос LA(v, k).

*p<tex>[i][v]</tex> - <tex>i</tex>-тый двоичный подъем в предка вершины <tex>v</tex>
*way<tex>[v]</tex> - путь, проходящий через данную вершину
*num<tex>[v]</tex> - номер данной вершины на пути
*ladder<tex>[path][i]</tex> - возвращает <tex>i</tex>-тую вершину на пути <tex>path</tex>

   '''function''' LA('''int''' v,'''int''' k):
      '''int''' n = h(v); ''<font color="green">// получаем глубину вершины <tex>v</tex></font>''
      n = n - k;  ''<font color="green">// на столько необходимо подняться до ответа</font>''
      i = <tex>\log_2 n</tex>;  
      v = p[i][v]  ''<font color="green">// делаем максимально большой прыжок вверх</font>''
      i = n - i;  ''<font color="green">// на столько осталось еще подняться</font>''
      '''return''' ladder[way[v]][num[v] - i]; ''<font color="green">// так как теперь <tex>v</tex> и ответ находятся на одном пути</font>''

=== Доказательство корректности ===
Рассмотрим путь, на котором лежит вершина <tex>v</tex> до удвоения. Он длины хотя бы <tex>2^i</tex>, так как мы точно знаем, что существует вершина потомок <tex>v</tex>, расстояние до которого ровно <tex>2^i</tex> (это вершина, из которой мы только что пришли). Значит, после удвоения этот путь стал длины хотя бы <tex>2^{i + 1}</tex>, причем хотя бы <tex>2^i</tex> вершин в нем - предки <tex>v</tex>. Это означает, что вершина, которую мы ищем, находится на этом пути (иначе бы мы могли до этого прыгнуть еще на <tex>2^i</tex> вверх). Так как мы знаем позицию <tex>v</tex> в этом пути, то нужную вершину мы можем найти за <tex>O(1)</tex>.

Таким образом, наш алгоритм работает за <tex>\langle O(n\log n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n\log n)</tex> памяти. Методом четырех русских данный метод можно улучшить до <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> с помощью оптимизации предподсчета.
==  The Macro-Micro-Tree Algorithm ==
В данном разделе мы докажем, что предподсчет предыдущего алгоритма можно улучшить до <tex>O(n)</tex>.
Для начала рассмотрим алгоритм <tex>\langle O(L\log n + n), O(1)</tex> >, где <tex>L</tex> это количество листьев.
*С помощью обхода в глубину запомним по одному листу в ее поддереве для каждой вершины
*Воспользуемся алгоритмом лестниц, но будем выполнять предподсчет только для листьев.
Рассмотрим как можно улучшить данный алгоритм:
*Зададим некую функцию <tex>S(n) = \dfrac{1}{4} \log_2 n</tex>
*Посчитаем размер поддерева для каждой вершины с помощью обхода в глубину, после чего удалим все вершины размер поддерева которых меньше чем  <tex>S(n)</tex>.
*Забудем на время про удаленные поддеревья, для оставшегося дерева наш алгоритм работает за  <tex>\langle O(\dfrac{n}{S(n)} \log n + n), O(1)\rangle </tex>. Получаем алгоритм <tex>\langle O(n), O(1) \rangle </tex>. Для удаленных поддеревьев же выполним полный предподсчет: таких деревьев не более чем <tex>2^{2S(n)}</tex>, что дает асимптотику предподсчета <tex>O(\sqrt{n} \log^2{n}) = o(n) = O(n)</tex>.

В итоге полученный алгоритм действительно работает за <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n)</tex> памяти.
== Сравнение с наивными реализациями ==
Используя DFS посчитаем глубину каждой вершины дерева (это можно сделать за <tex>O(n)</tex>), после чего можем из вершины <tex>v</tex> подняться до необходимой глубины вершины <tex>k</tex>,
что так же в худшем случае работает за <tex>O(n)</tex>.
Получили алгоритм за <tex>\langle O(n), O(n) \rangle</tex> времени и <tex>O(n)</tex> памяти, где время ответа на
запрос можно улучшить до <tex>O(\log n)</tex> c помощью [[Метод двоичного подъёма | предподсчета двоичных подъемов]]  ,
но тогда и время предподсчета в наивной реализации (посчитать подъемы для всех вершин) ухудшится до <tex>\langle O(n \log n),
O(\log n)\rangle </tex> времени и <tex>O(n \log n)</tex> памяти. Также альтернативой данным двум алгоритмам является полный предподсчет всех возможных запросов, что соответственно дает нам асимптотику <tex>\langle O(n^2), O(1)\rangle </tex>времени и <tex>O(n^2)</tex> памяти.

Сравнение различных асимптотик из данной статьи:
{| class="wikitable" style="clear:right; color:blue;" cellpadding="10"
|+
|-align="center"
!
| <tex>Предподсчет</tex>
| <tex>Ответ</tex>
| <tex>Память</tex>
|-align="center"
!Обычный подъем до нужного уровня
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|-align="center"
!Полный предподсчет
|<tex>O(n^2)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n^2)</tex>
|-align="center"
!Двоичные подъемы
|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n \log n)</tex>
|-align="center"
!Декомпозиция
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|-align="center"
!Алгоритм лестниц
|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n \log n)</tex>
|-align="center"
!Macro-Micro-Tree Algorithm
|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n)</tex>
|}

== Примечания ==
[https://www.mi.fu-berlin.de/en/inf/groups/abi/teaching/lectures/lectures_past/WS0910/V____Discrete_Mathematics_for_Bioinformatics__P1/material/scripts/treedecomposition1.pdf Longest path decomposition]
== См. также == 
*[[Метод двоичного подъёма]]
*[[Heavy-light декомпозиция]]
== Источники информации ==
*[https://www.cadmo.ethz.ch/education/lectures/HS18/SAADS/reports/5.pdf Level Ancestor problem simplified Cai Qi]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Level_ancestor_problem Wikipedia: LA]
*[https://www.mi.fu-berlin.de/en/inf/groups/abi/teaching/lectures/lectures_past/WS0910/V____Discrete_Mathematics_for_Bioinformatics__P1/material/scripts/treedecomposition1.pdf Longest path decomposition]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]