M-сводимость — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Применение)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Множество <tex>A</tex> '''m-сводится''' ко множеству <tex>B</tex>, если существует всюду определённая вычислимая функция <tex>f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B</tex>, то есть <tex>f(A) \subset B</tex> и <tex>f(\overline{A}) \subset \overline{B}</tex>. Обозначение: <tex>A\le_{m}B</tex>.
+
|definition=Множество <tex>A</tex> '''m-сводится''' (''many-one reducible'', ''m-reducible'') ко множеству <tex>B</tex>, если существует всюду определённая вычислимая функция <tex>f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B</tex>, то есть <tex>f(A) \subset B</tex> и <tex>f(\overline{A}) \subset \overline{B}</tex>. Обозначение: <tex>A\le_{m}B</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>A</tex> '''m-эквивалентно''' <tex>B</tex>, если <tex>A\le_{m}B</tex> и <tex>B\le_{m}A</tex>. Обозначение: <tex>A\equiv_{m}B</tex>.
+
|definition=<tex>A</tex> '''m-эквивалентно''' (''many-one equivalent'', ''m-equivalent'') <tex>B</tex>, если <tex>A\le_{m}B</tex> и <tex>B\le_{m}A</tex>. Обозначение: <tex>A\equiv_{m}B</tex>.
 
}}
 
}}
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==

Версия 18:54, 18 января 2014

Определение:
Множество [math]A[/math] m-сводится (many-one reducible, m-reducible) ко множеству [math]B[/math], если существует всюду определённая вычислимая функция [math]f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B[/math], то есть [math]f(A) \subset B[/math] и [math]f(\overline{A}) \subset \overline{B}[/math]. Обозначение: [math]A\le_{m}B[/math].


Определение:
[math]A[/math] m-эквивалентно (many-one equivalent, m-equivalent) [math]B[/math], если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}A[/math]. Обозначение: [math]A\equiv_{m}B[/math].

Свойства

  1. [math]A\le_{m}A[/math].
    • Доказательство: [math]f(x)=x[/math].
  2. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] разрешимо, то [math]A[/math] разрешимо.
    • Доказательство: Пусть [math]p[/math] — программа-разрешитель для [math]B[/math]. Тогда для любого [math]x\in A[/math] разрешитель должен вернуть значение [math]p(f(x))[/math].
  3. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] перечислимо, то [math]A[/math] перечислимо.
    • Доказательство: Аналогично предыдущему свойству.
  4. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}C[/math], то [math]A\le_{m}C[/math].
    • Доказательство: Если [math]f:A\to B[/math] и [math]g:B\to C[/math], то m-сводящая функция [math]h:A\to C[/math] выглядит так [math]h(x) = g(f(x))[/math].

Применение

Лемма:
Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]A[/math] неразрешимо, то [math]B[/math] неразрешимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из второго свойства.
[math]\triangleleft[/math]

Приведённая лемма позволяет доказывать алгоритмическую неразрешимость некоторой задачи, сводя к ней (а не наоборот!) другую, неразрешимость которой уже доказана.

Например:

Литература

  • Верещагин Н., Шень А.Вычислимые функции, 2-е изд. МЦНМО, 2002. ISBN 5-900916-36-7
  • P. OdifreddiClassical recursion theory. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7