M-сводимость — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 29: Строка 29:
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
* ''Верещагин Н., Шень А.'' — '''Вычислимые функции''', 2-е изд. МЦНМО, 2002. ISBN 5-900916-36-7
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Many-one_reduction Wikipedia — Many-one reduction]
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Turing_reduction Wikipedia — Turing reduction]
 +
* ''Верещагин Н., Шень А.'' — '''Вычислимые функции''', 2-е изд. МЦНМО, 2002, стр. 64. ISBN 5-900916-36-7
 
* ''P. Odifreddi'' — '''Classical recursion theory'''. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7
 
* ''P. Odifreddi'' — '''Classical recursion theory'''. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7
 
{{Заголовок со строчной буквы}}
 
{{Заголовок со строчной буквы}}

Версия 18:56, 18 января 2014

Определение:
Множество [math]A[/math] m-сводится (many-one reducible, m-reducible) ко множеству [math]B[/math], если существует всюду определённая вычислимая функция [math]f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B[/math], то есть [math]f(A) \subset B[/math] и [math]f(\overline{A}) \subset \overline{B}[/math]. Обозначение: [math]A\le_{m}B[/math].


Определение:
[math]A[/math] m-эквивалентно (many-one equivalent, m-equivalent) [math]B[/math], если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}A[/math]. Обозначение: [math]A\equiv_{m}B[/math].

Свойства

  1. [math]A\le_{m}A[/math].
    • Доказательство: [math]f(x)=x[/math].
  2. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] разрешимо, то [math]A[/math] разрешимо.
    • Доказательство: Пусть [math]p[/math] — программа-разрешитель для [math]B[/math]. Тогда для любого [math]x\in A[/math] разрешитель должен вернуть значение [math]p(f(x))[/math].
  3. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] перечислимо, то [math]A[/math] перечислимо.
    • Доказательство: Аналогично предыдущему свойству.
  4. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}C[/math], то [math]A\le_{m}C[/math].
    • Доказательство: Если [math]f:A\to B[/math] и [math]g:B\to C[/math], то m-сводящая функция [math]h:A\to C[/math] выглядит так [math]h(x) = g(f(x))[/math].

Применение

Лемма:
Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]A[/math] неразрешимо, то [math]B[/math] неразрешимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из второго свойства.
[math]\triangleleft[/math]

Приведённая лемма позволяет доказывать алгоритмическую неразрешимость некоторой задачи, сводя к ней (а не наоборот!) другую, неразрешимость которой уже доказана.

Например:

Литература